Номер 4.1, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите интегралы (4.1—4.2):

4.1. 1) $\int_{-3}^{2} (2x - 3)dx;$

2) $\int_{-2}^{1} (5 - 4x)dx;$

3) $\int_{-2}^{0} (3x^2 + 10)dx;$

4) $\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 5)dx.$

4.1.1 1) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 3$.

$F(x) = \int (2x - 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x = x^2 - 3x$.

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования $a = -3$ и $b = 2$:

$\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx = (x^2 - 3x)|_{-3}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - ((-3)^2 - 3 \cdot (-3)) = (4 - 6) - (9 + 9) = -2 - 18 = -20$.

Ответ: -20

2) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} (5 - 4x) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 5 - 4x$.

$F(x) = \int (5 - 4x) dx = 5x - 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 5x - 2x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a = -2$ и $b = 1$:

$\int_{-2}^{1} (5 - 4x) dx = (5x - 2x^2)|_{-2}^{1} = (5 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) - (5 \cdot (-2) - 2 \cdot (-2)^2) = (5 - 2) - (-10 - 2 \cdot 4) = 3 - (-10 - 8) = 3 - (-18) = 21$.

Ответ: 21

3) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{0} (3x^2 + 10) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^2 + 10$.

$F(x) = \int (3x^2 + 10) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 10x = x^3 + 10x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a = -2$ и $b = 0$:

$\int_{-2}^{0} (3x^2 + 10) dx = (x^3 + 10x)|_{-2}^{0} = (0^3 + 10 \cdot 0) - ((-2)^3 + 10 \cdot (-2)) = 0 - (-8 - 20) = 0 - (-28) = 28$.

Ответ: 28

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 5) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 6x^2 - 2x + 5$.

$F(x) = \int (6x^2 - 2x + 5) dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x = 2x^3 - x^2 + 5x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a = 0$ и $b = 2$:

$\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 5) dx = (2x^3 - x^2 + 5x)|_{0}^{2} = (2 \cdot 2^3 - 2^2 + 5 \cdot 2) - (2 \cdot 0^3 - 0^2 + 5 \cdot 0) = (2 \cdot 8 - 4 + 10) - 0 = 16 - 4 + 10 = 22$.

Ответ: 22