Номер 3.13, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.13. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y^2 = x, x = 1, x = 4, y = 0, y < 0;$

2) $y^2 = x, x = 0, x = 3, y = 0, y > 0;$

3) $y = 2\sqrt{x}, y = -\sqrt{x}, x = 9.$

1)

Фигура ограничена линиями $y^2=x$, $x=1$, $x=4$ и $y=0$. Условие $y<0$ означает, что мы рассматриваем ту часть фигуры, которая находится ниже оси абсцисс. Из уравнения $y^2=x$ при $y<0$ получаем $y = -\sqrt{x}$.

Площадь фигуры представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью $Ox$ ($y=0$), снизу кривой $y=-\sqrt{x}$, и по бокам прямыми $x=1$ и $x=4$. Площадь такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

В данном случае $y_{верх} = 0$, $y_{нижн} = -\sqrt{x}$, $a=1$, $b=4$.

$S = \int_1^4 (0 - (-\sqrt{x})) dx = \int_1^4 \sqrt{x} dx = \int_1^4 x^{1/2} dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{1/2}$: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^4 = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - \frac{2}{3}(1) = \frac{2}{3}(2^3) - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$.

2)

Фигура ограничена линиями $y^2=x$, $x=0$, $x=3$ и $y=0$. Условие $y>0$ означает, что мы рассматриваем ту часть фигуры, которая находится выше оси абсцисс. Из уравнения $y^2=x$ при $y>0$ получаем $y = \sqrt{x}$.

Площадь фигуры является площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой $y=\sqrt{x}$, снизу осью $Ox$ ($y=0$), и по бокам прямыми $x=0$ и $x=3$. Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_0^3 \sqrt{x} dx = \int_0^3 x^{1/2} dx$.

Используем первообразную, найденную в предыдущем пункте: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^3 = \frac{2}{3}(3^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - 0 = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.

3)

Фигура ограничена кривыми $y=2\sqrt{x}$, $y=-\sqrt{x}$ и прямой $x=9$.

Для нахождения пределов интегрирования найдем точки пересечения кривых $y=2\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$:

$2\sqrt{x} = -\sqrt{x} \implies 3\sqrt{x} = 0 \implies x=0$.

Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=0$ (осью $Oy$) и справа прямой $x=9$. На всем интервале $[0, 9]$ график функции $y_{верх} = 2\sqrt{x}$ лежит выше графика функции $y_{нижн} = -\sqrt{x}$.

Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

$S = \int_0^9 (2\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) dx = \int_0^9 (2\sqrt{x} + \sqrt{x}) dx = \int_0^9 3\sqrt{x} dx = 3 \int_0^9 x^{1/2} dx$.

Вычислим интеграл:

$S = 3 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^9 = \left[ 2x^{3/2} \right]_0^9 = 2(9^{3/2}) - 2(0^{3/2}) = 2(\sqrt{9})^3 - 0 = 2(3^3) = 2 \cdot 27 = 54$.

Ответ: $54$.