Номер 3.6, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми:

1) $x = \frac{\pi}{18}$, $x = \frac{\pi}{12}$, графиком функции $y = \sin6x$ и осью абсцисс;

2) $y = 0$, $x = \frac{\pi}{24}$, $x = \frac{\pi}{12}$, графиком функции $y = \cos4x.$

1) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_a^b |f(x)|dx$. В данном случае фигура ограничена прямыми $x = \frac{\pi}{18}$, $x = \frac{\pi}{12}$, графиком функции $y = \sin(6x)$ и осью абсцисс. Таким образом, $f(x) = \sin(6x)$, $a = \frac{\pi}{18}$ и $b = \frac{\pi}{12}$.

Сначала определим знак функции $y=\sin(6x)$ на отрезке $[\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{12}]$.

Когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{18}$ до $\frac{\pi}{12}$, аргумент $6x$ изменяется от $6 \cdot \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$ до $6 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$.

На интервале $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ функция синус принимает неотрицательные значения, поэтому $|\sin(6x)| = \sin(6x)$ на всем отрезке интегрирования.

Теперь мы можем вычислить площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(6x) dx$

Первообразная для функции $\sin(6x)$ равна $-\frac{1}{6}\cos(6x)$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = [-\frac{1}{6}\cos(6x)]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = -\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{12}) - (-\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{18})) = -\frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{3})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$S = -\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Фигура ограничена прямыми $y=0$ (ось абсцисс), $x = -\frac{\pi}{24}$, $x = \frac{\pi}{12}$ и графиком функции $y = \cos(4x)$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b |f(x)|dx$, где $f(x) = \cos(4x)$, $a = -\frac{\pi}{24}$ и $b = \frac{\pi}{12}$.

Определим знак функции $y=\cos(4x)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{12}]$.

Когда $x$ изменяется от $-\frac{\pi}{24}$ до $\frac{\pi}{12}$, аргумент $4x$ изменяется от $4 \cdot (-\frac{\pi}{24}) = -\frac{\pi}{6}$ до $4 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

На интервале $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$, который полностью лежит внутри интервала $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, функция косинус принимает неотрицательные значения. Следовательно, $|\cos(4x)| = \cos(4x)$ на всем отрезке интегрирования.

Вычислим площадь:

$S = \int_{-\frac{\pi}{24}}^{\frac{\pi}{12}} \cos(4x) dx$

Первообразная для функции $\cos(4x)$ равна $\frac{1}{4}\sin(4x)$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\frac{1}{4}\sin(4x)]_{-\frac{\pi}{24}}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{4}\sin(4 \cdot \frac{\pi}{12}) - \frac{1}{4}\sin(4 \cdot (-\frac{\pi}{24})) = \frac{1}{4}\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}\sin(-\frac{\pi}{6})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{3}+1}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}+1}{8}$.