Номер 3.9, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.9. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, соответственно, на отрезках $[a; b]$ и $[b; c]$ прямыми $x = a, x = c$ и осью Ox:

1) $f(x) = x^2 + 2x + 3, [-2; 1]$ и $g(x) = x^2 - 2x + 7, [1; 2];$

2) $f(x) = -x^2 - 4x - 1, [-3; -1]$ и $g(x) = -x^2 + 2x + 5, [-1; 1].$

1)

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=f(x)=x^2+2x+3$ на отрезке $[-2; 1]$ и $y=g(x)=x^2-2x+7$ на отрезке $[1; 2]$, а также прямыми $x=-2$, $x=2$ и осью $Ox$, вычисляется как сумма площадей двух криволинейных трапеций. Общая площадь $S$ равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} g(x) dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 7) dx$

Сначала проверим, что функции неотрицательны на своих интервалах, так как площадь ограничена осью $Ox$.

Для функции $f(x) = x^2 + 2x + 3$: это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = - \frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Значение в вершине: $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Это минимальное значение функции. Так как $f_{min} = 2 > 0$, функция $f(x)$ положительна на всем отрезке $[-2; 1]$.

Для функции $g(x) = x^2 - 2x + 7$: это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Значение в вершине: $g(1) = 1^2 - 2(1) + 7 = 1 - 2 + 7 = 6$. Это минимальное значение функции. Так как $g_{min} = 6 > 0$, функция $g(x)$ положительна на всем отрезке $[1; 2]$.

Поскольку обе функции положительны, можно вычислять интегралы.

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 3 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3(-2) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} + 1 + 3 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 4 - 6 \right) = \left( \frac{1}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right) = \frac{13}{3} - \left(-\frac{14}{3}\right) = \frac{13}{3} + \frac{14}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 7) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 7x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 7 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 7 \cdot 1 \right)$

$= \left( \frac{8}{3} - 4 + 14 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 7 \right) = \left( \frac{8}{3} + 10 \right) - \left( \frac{1}{3} + 6 \right) = \frac{38}{3} - \frac{19}{3} = \frac{19}{3}$.

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = S_1 + S_2 = 9 + \frac{19}{3} = \frac{27}{3} + \frac{19}{3} = \frac{46}{3}$.

Ответ: $S = \frac{46}{3}$.

2)

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=f(x)=-x^2-4x-1$ на отрезке $[-3; -1]$ и $y=g(x)=-x^2+2x+5$ на отрезке $[-1; 1]$, а также прямыми $x=-3$, $x=1$ и осью $Ox$, вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) dx + \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x + 5) dx$

Проверим знак функций на заданных интервалах.

Для функции $f(x) = -x^2 - 4x - 1$: это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $x_v = - \frac{-4}{2(-1)} = -2$. Значение в вершине: $f(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3$. Это максимальное значение функции. На концах отрезка $[-3; -1]$ значения функции равны $f(-3) = -(-3)^2-4(-3)-1 = 2$ и $f(-1)=-(-1)^2-4(-1)-1=2$. Минимальное значение на отрезке равно 2, следовательно, $f(x) > 0$ на отрезке $[-3; -1]$.

Для функции $g(x) = -x^2 + 2x + 5$: это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $x_v = - \frac{2}{2(-1)} = 1$. Вершина является правым концом отрезка $[-1; 1]$. Значение в этой точке: $g(1) = -1^2 + 2(1) + 5 = 6$. На левом конце отрезка $g(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -1 - 2 + 5 = 2$. На отрезке $[-1; 1]$ функция возрастает от 2 до 6, значит, $g(x) > 0$ на этом отрезке.

Обе функции положительны, вычисляем интегралы.

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 - x \right]_{-3}^{-1}$

$= \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - (-1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 - (-3) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} - 2 + 1 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 + 3 \right) = \left( -\frac{2}{3} \right) - (9 - 18 + 3) = -\frac{2}{3} - (-6) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x + 5) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right]_{-1}^{1}$

$= \left( -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 5 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 5(-1) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} + 1 + 5 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 5 \right) = \left( 6 - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - 4 \right) = \frac{17}{3} - \left( -\frac{11}{3} \right) = \frac{17+11}{3} = \frac{28}{3}$.

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + \frac{28}{3} = \frac{44}{3}$.

Ответ: $S = \frac{44}{3}$.