Номер 3.2, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.2. 1) $y = x^2 - 2x + 3, y = 0, x = 1, x = 2;$

2) $y = x^2 - 2x + 8, y = 0, x = -1, x = 3;$

3) $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{3}, x = \frac{\pi}{3};$

4) $y = \sin x, y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{2}.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 3$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 1$ и $x = 2$, необходимо вычислить определенный интеграл от функции $f(x) = x^2 - 2x + 3$ в пределах от 1 до 2. Сначала убедимся, что функция неотрицательна на данном отрезке. Функция $f(x) = x^2 - 2x + 3$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Координата x вершины параболы: $x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$. Значение функции в вершине: $f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2$. Так как вершина является точкой минимума и значение в ней положительно, функция $f(x) > 0$ на всей числовой оси, включая отрезок $[1, 2]$. Таким образом, площадь $S$ равна: $S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 3) dx$. Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \int (x^2 - 2x + 3) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$. Теперь по формуле Ньютона-Лейбница вычислим значение определенного интеграла: $S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} - 2^2 + 3 \cdot 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 \cdot 1\right) = \left(\frac{8}{3} - 4 + 6\right) - \left(\frac{1}{3} - 1 + 3\right) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 2\right) = \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{3} - 2 = \frac{7}{3}$. Ответ: $\frac{7}{3}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 3$, необходимо вычислить определенный интеграл. Проверим знак функции $f(x) = x^2 - 2x + 8$ на отрезке $[-1, 3]$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$. Минимальное значение функции: $f(1) = 1^2 - 2(1) + 8 = 7$. Поскольку минимальное значение функции на отрезке $[-1, 3]$ положительно, то $f(x) > 0$ на всем отрезке. Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 2x + 8) dx$. Найдем первообразную: $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x$. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \right]_{-1}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 3^2 + 8 \cdot 3\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 8 \cdot (-1)\right) = \left(\frac{27}{3} - 9 + 24\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1 - 8\right) = (9 - 9 + 24) - \left(-\frac{1}{3} - 9\right) = 24 - \left(-\frac{28}{3}\right) = 24 + \frac{28}{3} = \frac{72}{3} + \frac{28}{3} = \frac{100}{3}$. Ответ: $\frac{100}{3}$.

3) Фигура ограничена линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ функция $f(x) = \cos x$ является неотрицательной ($ \cos x \ge 0 $), так как данный отрезок лежит внутри интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где косинус положителен. Площадь $S$ вычисляется как интеграл: $S = \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \cos x \,dx$. Первообразная для $\cos x$ есть $\sin x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = [\sin x]_{-\pi/3}^{\pi/3} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$. Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем: $S = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = \sin x$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ (I координатная четверть) функция $f(x) = \sin x$ является неотрицательной ($ \sin x \ge 0 $). Площадь $S$ вычисляется как интеграл: $S = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,dx$. Первообразная для $\sin x$ есть $-\cos x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (-\cos(0))$. Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем: $S = (-0) - (-1) = 1$. Ответ: $1$.