Номер 2.13, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.13. Найдите множество значений функции:

1) $f(x) = 2x + \sin 2x$;

2) $f(x) = \sin 2x \cos 2x$;

3) $f(x) = 1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}$;

4) $f(x) = \operatorname{tg} 2x \operatorname{ctg} 2x$.

1) Функция $f(x) = 2x + \sin(2x)$ определена для всех действительных чисел $x$, так как оба слагаемых, $2x$ и $\sin(2x)$, определены на всей числовой оси. Чтобы найти множество значений, исследуем функцию на монотонность с помощью производной.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x + \sin(2x))' = 2 + \cos(2x) \cdot (2x)' = 2 + 2\cos(2x) = 2(1 + \cos(2x))$.

Мы знаем, что значение косинуса находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Тогда $0 \le 1 + \cos(2x) \le 2$.

Следовательно, $0 \le 2(1 + \cos(2x)) \le 4$, то есть $f'(x) \ge 0$ для всех $x$.

Так как производная функции неотрицательна, функция $f(x)$ является неубывающей на всей числовой оси. Поскольку производная обращается в ноль только в отдельных точках (где $\cos(2x) = -1$), функция является строго возрастающей.

Найдем пределы функции на бесконечности:

$\lim_{x\to+\infty} (2x + \sin(2x)) = +\infty$, так как $2x$ неограниченно возрастает, а $\sin(2x)$ принимает значения в отрезке $[-1, 1]$.

$\lim_{x\to-\infty} (2x + \sin(2x)) = -\infty$, так как $2x$ неограниченно убывает, а $\sin(2x)$ ограничена.

Поскольку функция непрерывна и возрастает от $-\infty$ до $+\infty$, ее множество значений — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \sin(2x)\cos(2x)$ используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к нашей функции, взяв $\alpha = 2x$:

$f(x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$.

Множество значений функции синус, независимо от ее аргумента, есть отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin(4x) \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на $\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin(4x) \le \frac{1}{2}$.

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = 1 + \sqrt{x^2+2x-3}$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2+2x-3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Так как парабола $y = x^2+2x-3$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$. Это и есть область определения функции.

Пусть $g(x) = x^2+2x-3$. На своей области определения $g(x)$ принимает значения от 0 (в точках $x=-3$ и $x=1$) до $+\infty$ (при $x \to \pm\infty$).

Следовательно, множество значений подкоренного выражения есть $[0; +\infty)$.

Тогда выражение $\sqrt{x^2+2x-3}$ принимает значения из промежутка $[0; +\infty)$.

Поскольку $f(x) = 1 + \sqrt{x^2+2x-3}$, а $\sqrt{x^2+2x-3} \ge 0$, то $f(x) \ge 1+0=1$.

Так как $\sqrt{x^2+2x-3}$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $f(x)$ может быть сколь угодно большой.

Таким образом, множество значений функции — это луч $[1; +\infty)$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \text{tg}2x \cdot \text{ctg}2x$.

Известно тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$. Применяя его, получаем $f(x)=1$.

Однако это равенство справедливо только для тех $x$, для которых оба множителя, $\text{tg}2x$ и $\text{ctg}2x$, определены.

Функция $\text{tg}2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ определена, когда $\cos 2x \neq 0$, то есть $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $\text{ctg}2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}$ определена, когда $\sin 2x \neq 0$, то есть $2x \neq \pi n$, $x \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция $f(x)$ определена для всех $x$, кроме тех, где $\sin 2x = 0$ или $\cos 2x = 0$.

Для всех $x$ из области определения функции ее значение равно 1.

Следовательно, множество значений функции состоит из одного единственного числа.

Ответ: $\{1\}$.