Номер 2.6, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.6.1) $\int x \sqrt{4+x} dx;$

2) $\int x \sqrt{x-3} dx;$

3) $\int \sin x \cdot \sqrt{\cos x} dx.$

1) Для решения интеграла $ \int x \cdot \sqrt{4+x} \,dx $ используем метод замены переменной (также известный как метод подстановки).

Пусть $ t = 4 + x $. Из этого выражения найдем $ x $ и дифференциал $ dx $.

$ x = t - 4 $

$ dt = d(4+x) = (4+x)' dx = 1 \cdot dx = dx $

Теперь подставим эти выражения в исходный интеграл, чтобы получить интеграл относительно новой переменной $ t $:

$ \int x \cdot \sqrt{4+x} \,dx = \int (t-4) \cdot \sqrt{t} \,dt $

Представим корень как степень $ 1/2 $ и раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$ \int (t-4) \cdot t^{1/2} \,dt = \int (t \cdot t^{1/2} - 4 \cdot t^{1/2}) \,dt = \int (t^{3/2} - 4t^{1/2}) \,dt $

Теперь воспользуемся свойством линейности интеграла и табличным интегралом для степенной функции $ \int t^n \,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int t^{3/2} \,dt - 4 \int t^{1/2} \,dt = \frac{t^{3/2+1}}{3/2+1} - 4 \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{t^{5/2}}{5/2} - 4 \frac{t^{3/2}}{3/2} + C $

$ = \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{8}{3} t^{3/2} + C $

Выполним обратную замену, подставив $ t = 4+x $:

$ \frac{2}{5} (4+x)^{5/2} - \frac{8}{3} (4+x)^{3/2} + C $

Этот результат можно упростить. Вынесем за скобки общий множитель $ \frac{2}{15}(4+x)^{3/2} $:

$ \frac{2}{15}(4+x)^{3/2} \left( 3(4+x) - 20 \right) + C = \frac{2}{15}(4+x)^{3/2} (12 + 3x - 20) + C = \frac{2}{15}(3x-8)(4+x)^{3/2} + C $

Ответ: $ \frac{2}{15}(3x-8)(4+x)^{3/2} + C $

2) Для решения интеграла $ \int x \cdot \sqrt{x-3} \,dx $ применим тот же метод замены переменной.

Пусть $ t = x - 3 $. Тогда $ x = t + 3 $ и $ dx = dt $.

Подставим эти выражения в интеграл:

$ \int x \cdot \sqrt{x-3} \,dx = \int (t+3) \cdot \sqrt{t} \,dt $

Раскроем скобки, представив $ \sqrt{t} $ как $ t^{1/2} $:

$ \int (t \cdot t^{1/2} + 3 \cdot t^{1/2}) \,dt = \int (t^{3/2} + 3t^{1/2}) \,dt $

Интегрируем по частям, используя формулу для степенной функции:

$ \frac{t^{3/2+1}}{3/2+1} + 3 \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{t^{5/2}}{5/2} + 3 \frac{t^{3/2}}{3/2} + C $

$ = \frac{2}{5} t^{5/2} + 2 t^{3/2} + C $

Выполним обратную замену $ t = x-3 $:

$ \frac{2}{5} (x-3)^{5/2} + 2 (x-3)^{3/2} + C $

Упростим полученное выражение, вынеся за скобки общий множитель $ \frac{2}{5}(x-3)^{3/2} $:

$ \frac{2}{5}(x-3)^{3/2} \left( (x-3) + 5 \right) + C = \frac{2}{5}(x-3)^{3/2} (x+2) + C $

Ответ: $ \frac{2}{5}(x+2)(x-3)^{3/2} + C $

3) Для нахождения интеграла $ \int \sin x \cdot \sqrt{\cos x} \,dx $ используем метод замены переменной.

Заметим, что производная функции $ \cos x $, стоящей под корнем, равна $ (\cos x)' = -\sin x $. Множитель $ \sin x $ уже присутствует в подынтегральном выражении, что делает замену удобной.

Пусть $ t = \cos x $. Тогда дифференциал $ dt $ равен:

$ dt = (\cos x)' \,dx = -\sin x \,dx $

Отсюда выразим $ \sin x \,dx = -dt $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int \sqrt{\cos x} \cdot (\sin x \,dx) = \int \sqrt{t} \cdot (-dt) = - \int t^{1/2} \,dt $

Теперь найдем интеграл от степенной функции:

$ - \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = - \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{2}{3} t^{3/2} + C $

Выполняем обратную замену $ t = \cos x $, чтобы вернуться к исходной переменной:

$ -\frac{2}{3} (\cos x)^{3/2} + C $

Ответ: $ -\frac{2}{3} (\cos x)^{3/2} + C $