Номер 1.21, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.21. Найдите производную функции:

1) $y = (2x - 7)^5 + 4x^2$;

2) $y = 3(3x^2 - 5x)^4 - x^6$;

3) $y = \sin^2 3x + 2x$;

4) $y = \cos^2 3x - x^3 + \sqrt{3}$.

1) Для функции $y = (2x - 7)⁵ + 4x²$ производная находится как сумма производных: $y' = ((2x - 7)⁵)' + (4x²)'.$

Первое слагаемое $(2x - 7)⁵$ является сложной функцией. Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$((2x - 7)⁵)' = 5(2x - 7)^{5-1} \cdot (2x - 7)' = 5(2x - 7)⁴ \cdot 2 = 10(2x - 7)⁴.$

Производная второго слагаемого находится по правилу для степенной функции: $(4x²)' = 4 \cdot 2x = 8x.$

Складываем полученные результаты: $y' = 10(2x - 7)⁴ + 8x.$

Ответ: $10(2x - 7)⁴ + 8x$.

2) Для функции $y = 3(3x² - 5x)⁴ - x⁶$ производная находится как разность производных: $y' = (3(3x² - 5x)⁴)' - (x⁶)'.$

Для первого слагаемого $3(3x² - 5x)⁴$ используем правило дифференцирования произведения константы на сложную функцию.

$(3(3x² - 5x)⁴)' = 3 \cdot 4(3x² - 5x)^{4-1} \cdot (3x² - 5x)' = 12(3x² - 5x)³ \cdot (6x - 5).$

Производная второго слагаемого: $(x⁶)' = 6x⁵.$

Вычитая второе из первого, получаем: $y' = 12(6x - 5)(3x² - 5x)³ - 6x⁵.$

Ответ: $12(6x - 5)(3x² - 5x)³ - 6x⁵$.

3) Для функции $y = \sin²3x + 2x$ найдем производную как сумму производных: $y' = (\sin²3x)' + (2x)'.$

Первое слагаемое $\sin²3x$ можно записать как $(\sin(3x))²$. Это сложная функция. Применяем цепное правило дифференцирования.

$(\sin²3x)' = 2\sin^{2-1}(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x)\cos(3x) \cdot 3.$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, упрощаем выражение:

$3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin(6x).$

Производная второго слагаемого: $(2x)' = 2.$

Складывая результаты, получаем: $y' = 3\sin(6x) + 2.$

Ответ: $3\sin(6x) + 2$.

4) Для функции $y = \cos³3x - x³ + \sqrt{3}$ найдем производную по правилам дифференцирования суммы и разности: $y' = (\cos³3x)' - (x³)' + (\sqrt{3})'.$

Первое слагаемое $\cos³3x = (\cos(3x))³$ является сложной функцией.

$(\cos³3x)' = 3\cos^{3-1}(3x) \cdot (\cos(3x))' = 3\cos²(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 3\cos²(3x)(-\sin(3x)) \cdot 3 = -9\cos²(3x)\sin(3x).$

Производная второго слагаемого: $(x³)' = 3x².$

Третье слагаемое $\sqrt{3}$ является константой, поэтому его производная равна нулю: $(\sqrt{3})' = 0.$

Собираем все вместе: $y' = -9\cos²(3x)\sin(3x) - 3x² + 0 = -9\cos²(3x)\sin(3x) - 3x².$

Ответ: $-9\cos²(3x)\sin(3x) - 3x²$.