Номер 1.20, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.20. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 2x - \sqrt{x^2 + 5x};$

2) $f(x) = x^2 - \sqrt{x^2 + 4x + 4};$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + \frac{1}{\sqrt{4 - x}};$

4) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} + \sqrt{16 - x^2}.$

1) $f(x) = 2x - \sqrt{x^2 + 5x}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$x^2 + 5x \ge 0$

Разложим левую часть неравенства на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(x+5) \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x+5) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Для решения неравенства используем метод интервалов. Отметим точки $-5$ и $0$ на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -5]$, $[-5, 0]$ и $[0, +\infty)$.

Парабола $y = x^2 + 5x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения на интервалах вне корней.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $x \le -5$ и $x \ge 0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -5] \cup [0, +\infty)$.

2) $f(x) = x^2 - \sqrt{x^2 + 4x + 4}$

Область определения функции ограничивается условием неотрицательности подкоренного выражения.

$x^2 + 4x + 4 \ge 0$

Выражение в левой части неравенства представляет собой формулу квадрата суммы (полный квадрат):

$(x+2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

3) $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$

Область определения данной функции находится из системы двух условий:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным.

2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как деление на ноль недопустимо).

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \ge 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 3 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство верно при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравен