Номер 1.19, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.19. Постройте график функции в программе "Живая геометрия":

1) $f(x) = 3 - \sqrt{3-x}$;

2) $f(x) = 1 + \sqrt{4-x}$;

3) $f(x) = \sqrt{x+1} - 2$;

4) $f(x) = -\sqrt{x-1} + 2$.

1) Для построения графика функции $f(x) = 3 - \sqrt{3 - x}$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Шаги построения:1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и идущая вправо и вверх.2. Отражаем график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси OY, чтобы получить график $y = \sqrt{-x}$.3. Сдвигаем полученный график $y = \sqrt{-x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Получаем график функции $y = \sqrt{-(x-3)} = \sqrt{3-x}$. Начало ветви параболы перемещается в точку $(3, 0)$.4. Отражаем график $y = \sqrt{3-x}$ симметрично относительно оси OX, чтобы получить $y = -\sqrt{3-x}$.5. Сдвигаем последний график на 3 единицы вверх вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = 3 - \sqrt{3-x}$.

В результате этих преобразований мы получаем ветвь параболы, которая выходит из точки $(3, 3)$ и направлена влево и вниз.

Область определения: $3 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$, то есть $D(f) = (-\infty; 3]$.

Область значений: $y \le 3$, то есть $E(f) = (-\infty; 3]$.

Контрольные точки: $(3, 3)$, $(2, 2)$, $(-1, 1)$, $(-6, 0)$.

Ответ: График функции – это ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в точке $(3, 3)$, направленная влево и вниз.

2) Для построения графика функции $f(x) = 1 + \sqrt{4 - x}$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Шаги построения:1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.2. Отражаем график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси OY, чтобы получить $y = \sqrt{-x}$.3. Сдвигаем полученный график $y = \sqrt{-x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси OX. Получаем график функции $y = \sqrt{-(x-4)} = \sqrt{4-x}$. Начало ветви перемещается в точку $(4, 0)$.4. Сдвигаем последний график на 1 единицу вверх вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = 1 + \sqrt{4-x}$.

В результате этих преобразований мы получаем ветвь параболы, которая выходит из точки $(4, 1)$ и направлена влево и вверх.

Область определения: $4 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 4$, то есть $D(f) = (-\infty; 4]$.

Область значений: $y \ge 1$, то есть $E(f) = [1; +\infty)$.

Контрольные точки: $(4, 1)$, $(3, 2)$, $(0, 3)$, $(-5, 4)$.

Ответ: График функции – это ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в точке $(4, 1)$, направленная влево и вверх.

3) Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x + 1} - 2$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Шаги построения:1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.2. Сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси OX. Получаем график функции $y = \sqrt{x+1}$. Начало ветви перемещается в точку $(-1, 0)$.3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = \sqrt{x+1} - 2$.

В результате этих преобразований мы получаем ветвь параболы, которая выходит из точки $(-1, -2)$ и направлена вправо и вверх.

Область определения: $x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$, то есть $D(f) = [-1; +\infty)$.

Область значений: $y \ge -2$, то есть $E(f) = [-2; +\infty)$.

Контрольные точки: $(-1, -2)$, $(0, -1)$, $(3, 0)$, $(8, 1)$.

Ответ: График функции – это ветвь параболы, симметричной оси OY, с вершиной в точке $(-1, -2)$, направленная вправо и вверх.

4) Для построения графика функции $f(x) = -\sqrt{x - 1} + 2$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Шаги построения:1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.2. Сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX. Получаем график функции $y = \sqrt{x-1}$. Начало ветви перемещается в точку $(1, 0)$.3. Отражаем полученный график $y = \sqrt{x-1}$ симметрично относительно оси OX, чтобы получить $y = -\sqrt{x-1}$.4. Сдвигаем последний график на 2 единицы вверх вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = -\sqrt{x-1} + 2$.

В результате этих преобразований мы получаем ветвь параболы, которая выходит из точки $(1, 2)$ и направлена вправо и вниз.

Область определения: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$, то есть $D(f) = [1; +\infty)$.

Область значений: $y \le 2$, то есть $E(f) = (-\infty; 2]$.

Контрольные точки: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(5, 0)$, $(10, -1)$.

Ответ: График функции – это ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в точке $(1, 2)$, направленная вправо и вниз.