Номер 1.12, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.12. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b)$, если:

1) $f(x) = x - \cos^2 x$, где $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$;

2) $f(x) = 2\sin^2 x - x$, где $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$;

3) $f(x) = x^{-3} + \cos x$, где $x \in (0; +\infty)$, $M(0,5\pi; -\frac{1}{2\pi^2})$;

4) $f(x) = x^3 - \sin x$, где $x \in (0; +\infty)$, $M(\pi; \frac{\pi^4}{4})$.

1) Для функции $f(x) = x - \cos^{-2}x = x - \frac{1}{\cos^2 x}$ общим видом первообразной является функция $F(x) = \int (x - \frac{1}{\cos^2 x}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \frac{x^2}{2} - \tan x + C$. График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$, поэтому должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi^2}{32}$. Найдем значение константы $C$: $F(\frac{\pi}{4}) = \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} - \tan(\frac{\pi}{4}) + C = \frac{\pi^2/16}{2} - 1 + C = \frac{\pi^2}{32} - 1 + C$. Подставим заданное значение $F(\frac{\pi}{4})$: $\frac{\pi^2}{32} - 1 + C = -\frac{\pi^2}{32}$. $C = 1 - \frac{\pi^2}{32} - \frac{\pi^2}{32} = 1 - \frac{2\pi^2}{32} = 1 - \frac{\pi^2}{16}$. Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan x + 1 - \frac{\pi^2}{16}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan x + 1 - \frac{\pi^2}{16}$.

2) Для функции $f(x) = 2\sin^{-2}x - x = \frac{2}{\sin^2 x} - x$ общим видом первообразной является функция $F(x) = \int (\frac{2}{\sin^2 x} - x) dx = 2\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - \int x dx = -2\cot x - \frac{x^2}{2} + C$. График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$, поэтому должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi^2}{32}$. Найдем значение константы $C$: $F(\frac{\pi}{4}) = -2\cot(\frac{\pi}{4}) - \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} + C = -2(1) - \frac{\pi^2/16}{2} + C = -2 - \frac{\pi^2}{32} + C$. Подставим заданное значение $F(\frac{\pi}{4})$: $-2 - \frac{\pi^2}{32} + C = -\frac{\pi^2}{32}$. $C = 2$. Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -2\cot x - \frac{x^2}{2} + 2$.

Ответ: $F(x) = -2\cot x - \frac{x^2}{2} + 2$.

3) Для функции $f(x) = x^{-3} + \cos x$ общим видом первообразной является функция $F(x) = \int (x^{-3} + \cos x) dx = \int x^{-3} dx + \int \cos x dx = \frac{x^{-2}}{-2} + \sin x + C = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + C$. График первообразной проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{1}{2\pi^2})$, то есть $M(\frac{\pi}{2}; -\frac{1}{2\pi^2})$, поэтому должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2\pi^2}$. Найдем значение константы $C$: $F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2(\frac{\pi}{2})^2} + \sin(\frac{\pi}{2}) + C = -\frac{1}{2(\frac{\pi^2}{4})} + 1 + C = -\frac{2}{\pi^2} + 1 + C$. Подставим заданное значение $F(\frac{\pi}{2})$: $-\frac{2}{\pi^2} + 1 + C = -\frac{1}{2\pi^2}$. $C = -\frac{1}{2\pi^2} + \frac{2}{\pi^2} - 1 = \frac{-1+4}{2\pi^2} - 1 = \frac{3}{2\pi^2} - 1$. Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{3}{2\pi^2} - 1$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{3}{2\pi^2} - 1$.

4) Для функции $f(x) = x^3 - \sin x$ общим видом первообразной является функция $F(x) = \int (x^3 - \sin x) dx = \int x^3 dx - \int \sin x dx = \frac{x^4}{4} - (-\cos x) + C = \frac{x^4}{4} + \cos x + C$. График первообразной проходит через точку $M(\pi; \frac{\pi^4}{4})$, поэтому должно выполняться условие $F(\pi) = \frac{\pi^4}{4}$. Найдем значение константы $C$: $F(\pi) = \frac{\pi^4}{4} + \cos(\pi) + C = \frac{\pi^4}{4} - 1 + C$. Подставим заданное значение $F(\pi)$: $\frac{\pi^4}{4} - 1 + C = \frac{\pi^4}{4}$. $C = 1$. Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$.