Страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.7. Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x):

1) $f(x) = 3x^2 + 3\sin x$, $F(x) = x^3 - 3\cos x$;

2) $f(x) = x^4 + 4\cos x$, $F(x) = 0.2x^5 + 4\sin x$.

1)

Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо показать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Даны функции: $f(x) = 3x^2 + 3\sin x$ и $F(x) = x^3 - 3\cos x$.

Найдем производную функции $F(x)$. Используем правила дифференцирования:

1. Производная разности: $(u-v)' = u' - v'$.

2. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

3. Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

4. Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

$F'(x) = (x^3 - 3\cos x)' = (x^3)' - (3\cos x)' = 3x^{3-1} - 3(-\sin x) = 3x^2 + 3\sin x$.

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 3x^2 + 3\sin x$

$f(x) = 3x^2 + 3\sin x$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Аналогично, докажем утверждение для второй пары функций. Необходимо показать, что $F'(x) = f(x)$.

Даны функции: $f(x) = x^4 + 4\cos x$ и $F(x) = 0.2x^5 + 4\sin x$.

Найдем производную функции $F(x)$. Используем правила дифференцирования:

1. Производная суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

2. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

3. Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

4. Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

$F'(x) = (0.2x^5 + 4\sin x)' = (0.2x^5)' + (4\sin x)' = 0.2 \cdot 5x^{5-1} + 4\cos x = 1 \cdot x^4 + 4\cos x = x^4 + 4\cos x$.

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = x^4 + 4\cos x$

$f(x) = x^4 + 4\cos x$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

1.8. Найдите общий вид первообразных для функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 9x^2 + \sin 3x$;

2) $f(x) = 12x^3 - \cos 4x$;

3) $f(x) = \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2x-3}} + 2$;

4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5-2x}} + \sin 5x + 1$.

1) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = 9x^2 + \sin(3x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных. Обозначим искомую первообразную как $F(x)$.

$F(x) = \int (9x^2 + \sin(3x)) dx = \int 9x^2 dx + \int \sin(3x) dx$.

Для нахождения интегралов воспользуемся табличными значениями:

Для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 9x^2 dx = 9 \cdot \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$.

Для синуса сложного аргумента $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

$\int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

Суммируя полученные результаты и добавляя одну общую константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразных:

Ответ: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{3}\cos(3x) + C$.

2) Для функции $f(x) = 12x^3 - \cos(4x)$ общий вид первообразных $F(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (12x^3 - \cos(4x)) dx = \int 12x^3 dx - \int \cos(4x) dx$.

Используем табличные интегралы:

Для степенной функции $\int 12x^3 dx = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$.

Для косинуса сложного аргумента $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.

$\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Объединяя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:

Ответ: $F(x) = 3x^4 - \frac{1}{4}\sin(4x) + C$.

3) Для функции $f(x) = \cos(2x) - \frac{1}{\sqrt{2x-3}} + 2$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.

$F(x) = \int (\cos(2x) - \frac{1}{\sqrt{2x-3}} + 2) dx = \int \cos(2x) dx - \int (2x-3)^{-1/2} dx + \int 2 dx$.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Для второго слагаемого используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (2x-3)^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^{1/2}}{1/2} = \sqrt{2x-3}$.

$\int 2 dx = 2x$.

Собираем все части вместе с константой $C$:

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) - \sqrt{2x-3} + 2x + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5-2x}} + \sin(5x) + 1$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.

$F(x) = \int (\frac{1}{\sqrt{5-2x}} + \sin(5x) + 1) dx = \int (5-2x)^{-1/2} dx + \int \sin(5x) dx + \int 1 dx$.

Интегрируем каждое слагаемое:

Для первого слагаемого используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (5-2x)^{-1/2} dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(5-2x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(5-2x)^{1/2}}{1/2} = -\sqrt{5-2x}$.

$\int \sin(5x) dx = -\frac{1}{5}\cos(5x)$.

$\int 1 dx = x$.

Суммируем результаты и добавляем константу $C$:

Ответ: $F(x) = -\sqrt{5-2x} - \frac{1}{5}\cos(5x) + x + C$.

1.9. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b)$, и постройте график функции $F(x)$:

1) $f(x) = 2x + 3, M(1; 2);$

2) $f(x) = 3x^2 - 2, M(2; 4);$

3) $f(x) = 1 + \sin x, M(0; 1);$

4) $f(x) = 3\cos x - 2, M(\frac{\pi}{2}; -1);$

5) $f(x) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{2} + x)}, M(-\frac{\pi}{4}; -1);$

6) $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{2} - x)}, M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3}).$

1) Для функции $f(x) = 2x + 3$ и точки $M(1; 2)$

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (2x + 3) \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(1; 2)$, подставим координаты этой точки в уравнение для $F(x)$. Это означает, что при $x = 1$, значение $F(1)$ должно быть равно $2$:

$F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2$

$1 + 3 + C = 2$

$4 + C = 2$

$C = 2 - 4 = -2$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 + 3x - 2$.

График функции $F(x) = x^2 + 3x - 2$ – это парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$

$y_0 = F(-1.5) = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 2 = 2.25 - 4.5 - 2 = -4.25$

Вершина находится в точке $(-1.5; -4.25)$. График также проходит через точку $M(1; 2)$ и пересекает ось OY в точке $(0; -2)$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$. График — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-1.5; -4.25)$.

2) Для функции $f(x) = 3x^2 - 2$ и точки $M(2; 4)$

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (3x^2 - 2) \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C = x^3 - 2x + C$.

Используем координаты точки $M(2; 4)$ для нахождения $C$:

$F(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + C = 4$

$8 - 4 + C = 4$

$4 + C = 4$

$C = 0$

Искомая первообразная: $F(x) = x^3 - 2x$.

График функции $F(x) = x^3 - 2x$ – кубическая парабола. График проходит через начало координат, так как $F(0) = 0$. Найдем точки пересечения с осью OX: $x^3 - 2x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 2) = 0$, откуда $x_1=0$, $x_2=-\sqrt{2}$, $x_3=\sqrt{2}$. Функция является нечетной, так как $F(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -F(x)$, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через заданную точку $M(2; 4)$.

Ответ: $F(x) = x^3 - 2x$. График — кубическая парабола, проходящая через точки $(-\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$ и $(2; 4)$.

3) Для функции $f(x) = 1 + \sin x$ и точки $M(0; 1)$

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (1 + \sin x) \,dx = x - \cos x + C$.

Используем координаты точки $M(0; 1)$ для нахождения $C$:

$F(0) = 0 - \cos(0) + C = 1$

$-1 + C = 1$

$C = 2$

Искомая первообразная: $F(x) = x - \cos x + 2$.

График функции $F(x) = x - \cos x + 2$ представляет собой график функции $y = -\cos x$, "поднятый" на график прямой $y = x + 2$. То есть, это косинусоида, колеблющаяся вокруг наклонной прямой $y = x + 2$. График проходит через точку $M(0; 1)$, так как $F(0) = 0 - \cos(0) + 2 = 1$.

Ответ: $F(x) = x - \cos x + 2$. График — косинусоида, колеблющаяся вдоль прямой $y = x + 2$.

4) Для функции $f(x) = 3\cos x - 2$ и точки $M(\frac{\pi}{2}; -1)$

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (3\cos x - 2) \,dx = 3\sin x - 2x + C$.

Используем координаты точки $M(\frac{\pi}{2}; -1)$ для нахождения $C$:

$F(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \frac{\pi}{2} + C = -1$

$3 \cdot 1 - \pi + C = -1$

$3 - \pi + C = -1$

$C = \pi - 4$

Искомая первообразная: $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$.

График функции $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$ представляет собой синусоиду $y = 3\sin x$, колеблющуюся вокруг наклонной прямой $y = -2x + \pi - 4$. Амплитуда колебаний равна 3. График проходит через заданную точку $M(\frac{\pi}{2}; -1)$.

Ответ: $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$. График — синусоида с амплитудой 3, колеблющаяся вдоль прямой $y = -2x + \pi - 4$.

5) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{2} + x)}$ и точки $M(-\frac{\pi}{4}; -1)$

Сначала упростим выражение для $f(x)$, используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \tan x + C$.

Используем координаты точки $M(-\frac{\pi}{4}; -1)$ для нахождения $C$:

$F(-\frac{\pi}{4}) = \tan(-\frac{\pi}{4}) + C = -1$

$-1 + C = -1$

$C = 0$

Искомая первообразная: $F(x) = \tan x$.

График функции $F(x) = \tan x$ – это тангенсоида. График имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция периодическая с периодом $\pi$ и проходит через начало координат. Точка $M(-\frac{\pi}{4}; -1)$ лежит на этом графике.

Ответ: $F(x) = \tan x$. График — стандартная тангенсоида.

6) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{2} - x)}$ и точки $M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$

Сначала упростим выражение для $f(x)$, используя формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$:

$f(x) = \frac{1}{(-\sin x)^2} = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = -\cot x + C$.

Используем координаты точки $M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$ для нахождения $C$:

$F(\frac{5\pi}{6}) = -\cot(\frac{5\pi}{6}) + C = \sqrt{3}$

$\cot(\frac{5\pi}{6}) = \cot(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$

$-(-\sqrt{3}) + C = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} + C = \sqrt{3}$

$C = 0$

Искомая первообразная: $F(x) = -\cot x$.

График функции $F(x) = -\cot x$ – это график котангенса, отраженный симметрично относительно оси OX. График имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция периодическая с периодом $\pi$. На каждом интервале области определения функция возрастает. Точка $M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$ лежит на этом графике.

Ответ: $F(x) = -\cot x$. График — котангенсоида, отраженная относительно оси абсцисс.

1.10. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int (3x - 2)^2 dx;$

2) $\int ((2 - x)^4 - 17x^9 + \sqrt{2}) dx;$

3) $\int (\sin 5x - 2(4x - 1)^5) dx;$

4) $\int \left(\frac{1}{\sin^2 5x} - \frac{3}{x^{10}}\right) dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int(3x - 2)^2dx$ можно сначала раскрыть квадрат двучлена, а затем применить свойства интегралов и таблицу основных интегралов.

Раскроем скобки по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Теперь интегрируем полученный многочлен:

$\int(9x^2 - 12x + 4)dx = \int 9x^2dx - \int 12xdx + \int 4dx$.

Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$9\int x^2dx - 12\int xdx + 4\int dx = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 12 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 4x + C = 9 \frac{x^3}{3} - 12 \frac{x^2}{2} + 4x + C$.

Упрощаем выражение:

$3x^3 - 6x^2 + 4x + C$.

Ответ: $3x^3 - 6x^2 + 4x + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int((2 - x)^4 - 17x^9 + \sqrt{2})dx$ воспользуемся свойством линейности интеграла, то есть проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности.

$\int((2 - x)^4 - 17x^9 + \sqrt{2})dx = \int(2 - x)^4dx - \int 17x^9dx + \int \sqrt{2}dx$.

1. Для первого слагаемого $\int(2 - x)^4dx$ используем метод замены переменной. Пусть $t = 2 - x$, тогда $dt = -dx$, или $dx = -dt$.

$\int(2 - x)^4dx = \int t^4(-dt) = -\int t^4dt = -\frac{t^5}{5} + C_1 = -\frac{(2 - x)^5}{5} + C_1$.

2. Для второго слагаемого $\int 17x^9dx$ выносим константу и применяем формулу для степенной функции:

$\int 17x^9dx = 17\int x^9dx = 17 \cdot \frac{x^{10}}{10} + C_2$.

3. Третье слагаемое $\sqrt{2}$ является константой:

$\int \sqrt{2}dx = \sqrt{2}x + C_3$.

Объединяем все части, складывая константы в одну $C = C_1 - C_2 + C_3$:

$-\frac{(2 - x)^5}{5} - \frac{17x^{10}}{10} + \sqrt{2}x + C$.

Ответ: $-\frac{(2 - x)^5}{5} - \frac{17x^{10}}{10} + \sqrt{2}x + C$.

3) Найдём интеграл $\int(\sin(5x) - 2(4x - 1)^5)dx$, разбив его на два интеграла.

$\int(\sin(5x) - 2(4x - 1)^5)dx = \int \sin(5x)dx - 2\int (4x - 1)^5dx$.

1. Найдём $\int \sin(5x)dx$. Используем табличный интеграл $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В нашем случае $k=5$.

$\int \sin(5x)dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C_1$.

2. Найдём $\int (4x - 1)^5dx$. Используем табличный интеграл для сложной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k=4$, $b=-1$, $n=5$.

$2\int (4x - 1)^5dx = 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \frac{(4x-1)^{5+1}}{5+1}\right) + C_2 = 2 \cdot \frac{1}{4} \frac{(4x-1)^6}{6} + C_2 = \frac{(4x-1)^6}{12} + C_2$.

Объединяем результаты:

$-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{(4x - 1)^6}{12} + C$, где $C = C_1 - C_2$.

Ответ: $-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{(4x - 1)^6}{12} + C$.

4) Найдём интеграл $\int\left(\frac{1}{\sin^2 5x} - \frac{3}{x^{10}}\right)dx$, разбив его на два интеграла.

$\int\left(\frac{1}{\sin^2 5x} - \frac{3}{x^{10}}\right)dx = \int\frac{1}{\sin^2 5x}dx - \int\frac{3}{x^{10}}dx$.

1. Найдём $\int\frac{1}{\sin^2 5x}dx$. Используем табличный интеграл $\int\frac{1}{\sin^2(kx)}dx = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$. В данном случае $k=5$.

$\int\frac{1}{\sin^2 5x}dx = -\frac{1}{5}\cot(5x) + C_1$.

2. Найдём $\int\frac{3}{x^{10}}dx$. Перепишем подынтегральное выражение в виде степенной функции $3x^{-10}$.

$\int 3x^{-10}dx = 3\int x^{-10}dx = 3 \cdot \frac{x^{-10+1}}{-10+1} + C_2 = 3 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} + C_2 = -\frac{1}{3}x^{-9} + C_2 = -\frac{1}{3x^9} + C_2$.

Объединяем результаты и вычитаем второй из первого:

$-\frac{1}{5}\cot(5x) - \left(-\frac{1}{3x^9}\right) + C = -\frac{1}{5}\cot(5x) + \frac{1}{3x^9} + C$, где $C = C_1 - C_2$.

Ответ: $-\frac{1}{5}\cot(5x) + \frac{1}{3x^9} + C$.

1.11. Найдите общий вид первообразных для функции $y = f(x)$:

1) $f(x)=(x-1)^3$;

2) $f(x)=(1-2x)^2$;

3) $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+11x^{10}$;

4) $f(x)=\frac{1}{x^2}+12x^8$.

1) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла $\int f(x) dx$. Для функции $f(x)=(x-1)^3$ имеем:

$F(x) = \int (x-1)^3 dx$.

Это интеграл от степенной функции вида $(kx+b)^n$. Воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $k=1$, $b=-1$, $n=3$.

$F(x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{(x-1)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x-1)^4}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{(x-1)^4}{4} + C$.

2) Для функции $f(x)=(1-2x)^2$ находим первообразную:

$F(x) = \int (1-2x)^2 dx$.

Применяем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $k=-2$, $b=1$, $n=2$.

$F(x) = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1-2x)^{2+1}}{2+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1-2x)^3}{3} + C = -\frac{(1-2x)^3}{6} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{(1-2x)^3}{6} + C$.

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 11x^{10}$ находим первообразную, используя правило интегрирования суммы: $\int (g(x)+h(x))dx = \int g(x)dx + \int h(x)dx$.

$F(x) = \int \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 11x^{10}\right) dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx + \int 11x^{10} dx$.

Первый интеграл является табличным, так как производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Следовательно, $\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \sqrt{x}$.

Для второго интеграла используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$\int 11x^{10} dx = 11 \int x^{10} dx = 11 \cdot \frac{x^{10+1}}{10+1} = 11 \cdot \frac{x^{11}}{11} = x^{11}$.

Складывая результаты и добавляя константу, получаем:

$F(x) = \sqrt{x} + x^{11} + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + x^{11} + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2} + 12x^8$ находим первообразную:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{x^2} + 12x^8\right) dx = \int x^{-2} dx + \int 12x^8 dx$.

Используем формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Для первого слагаемого ($n=-2$):

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Для второго слагаемого ($n=8$):

$\int 12x^8 dx = 12 \int x^8 dx = 12 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} = 12 \cdot \frac{x^9}{9} = \frac{4}{3}x^9$.

Складывая результаты и добавляя константу, получаем:

$F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C$.

1.12. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b)$, если:

1) $f(x) = x - \cos^2 x$, где $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$;

2) $f(x) = 2\sin^2 x - x$, где $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$;

3) $f(x) = x^{-3} + \cos x$, где $x \in (0; +\infty)$, $M(0,5\pi; -\frac{1}{2\pi^2})$;

4) $f(x) = x^3 - \sin x$, где $x \in (0; +\infty)$, $M(\pi; \frac{\pi^4}{4})$.

1) Для функции $f(x) = x - \cos^{-2}x = x - \frac{1}{\cos^2 x}$ общим видом первообразной является функция $F(x) = \int (x - \frac{1}{\cos^2 x}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \frac{x^2}{2} - \tan x + C$. График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$, поэтому должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi^2}{32}$. Найдем значение константы $C$: $F(\frac{\pi}{4}) = \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} - \tan(\frac{\pi}{4}) + C = \frac{\pi^2/16}{2} - 1 + C = \frac{\pi^2}{32} - 1 + C$. Подставим заданное значение $F(\frac{\pi}{4})$: $\frac{\pi^2}{32} - 1 + C = -\frac{\pi^2}{32}$. $C = 1 - \frac{\pi^2}{32} - \frac{\pi^2}{32} = 1 - \frac{2\pi^2}{32} = 1 - \frac{\pi^2}{16}$. Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan x + 1 - \frac{\pi^2}{16}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan x + 1 - \frac{\pi^2}{16}$.

2) Для функции $f(x) = 2\sin^{-2}x - x = \frac{2}{\sin^2 x} - x$ общим видом первообразной является функция $F(x) = \int (\frac{2}{\sin^2 x} - x) dx = 2\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - \int x dx = -2\cot x - \frac{x^2}{2} + C$. График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$, поэтому должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi^2}{32}$. Найдем значение константы $C$: $F(\frac{\pi}{4}) = -2\cot(\frac{\pi}{4}) - \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} + C = -2(1) - \frac{\pi^2/16}{2} + C = -2 - \frac{\pi^2}{32} + C$. Подставим заданное значение $F(\frac{\pi}{4})$: $-2 - \frac{\pi^2}{32} + C = -\frac{\pi^2}{32}$. $C = 2$. Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -2\cot x - \frac{x^2}{2} + 2$.

Ответ: $F(x) = -2\cot x - \frac{x^2}{2} + 2$.

3) Для функции $f(x) = x^{-3} + \cos x$ общим видом первообразной является функция $F(x) = \int (x^{-3} + \cos x) dx = \int x^{-3} dx + \int \cos x dx = \frac{x^{-2}}{-2} + \sin x + C = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + C$. График первообразной проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{1}{2\pi^2})$, то есть $M(\frac{\pi}{2}; -\frac{1}{2\pi^2})$, поэтому должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2\pi^2}$. Найдем значение константы $C$: $F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2(\frac{\pi}{2})^2} + \sin(\frac{\pi}{2}) + C = -\frac{1}{2(\frac{\pi^2}{4})} + 1 + C = -\frac{2}{\pi^2} + 1 + C$. Подставим заданное значение $F(\frac{\pi}{2})$: $-\frac{2}{\pi^2} + 1 + C = -\frac{1}{2\pi^2}$. $C = -\frac{1}{2\pi^2} + \frac{2}{\pi^2} - 1 = \frac{-1+4}{2\pi^2} - 1 = \frac{3}{2\pi^2} - 1$. Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{3}{2\pi^2} - 1$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{3}{2\pi^2} - 1$.

4) Для функции $f(x) = x^3 - \sin x$ общим видом первообразной является функция $F(x) = \int (x^3 - \sin x) dx = \int x^3 dx - \int \sin x dx = \frac{x^4}{4} - (-\cos x) + C = \frac{x^4}{4} + \cos x + C$. График первообразной проходит через точку $M(\pi; \frac{\pi^4}{4})$, поэтому должно выполняться условие $F(\pi) = \frac{\pi^4}{4}$. Найдем значение константы $C$: $F(\pi) = \frac{\pi^4}{4} + \cos(\pi) + C = \frac{\pi^4}{4} - 1 + C$. Подставим заданное значение $F(\pi)$: $\frac{\pi^4}{4} - 1 + C = \frac{\pi^4}{4}$. $C = 1$. Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$.