Номер 1.9, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.9. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b)$, и постройте график функции $F(x)$:

1) $f(x) = 2x + 3, M(1; 2);$

2) $f(x) = 3x^2 - 2, M(2; 4);$

3) $f(x) = 1 + \sin x, M(0; 1);$

4) $f(x) = 3\cos x - 2, M(\frac{\pi}{2}; -1);$

5) $f(x) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{2} + x)}, M(-\frac{\pi}{4}; -1);$

6) $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{2} - x)}, M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3}).$

1) Для функции $f(x) = 2x + 3$ и точки $M(1; 2)$

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (2x + 3) \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(1; 2)$, подставим координаты этой точки в уравнение для $F(x)$. Это означает, что при $x = 1$, значение $F(1)$ должно быть равно $2$:

$F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2$

$1 + 3 + C = 2$

$4 + C = 2$

$C = 2 - 4 = -2$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 + 3x - 2$.

График функции $F(x) = x^2 + 3x - 2$ – это парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$

$y_0 = F(-1.5) = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 2 = 2.25 - 4.5 - 2 = -4.25$

Вершина находится в точке $(-1.5; -4.25)$. График также проходит через точку $M(1; 2)$ и пересекает ось OY в точке $(0; -2)$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$. График — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-1.5; -4.25)$.

2) Для функции $f(x) = 3x^2 - 2$ и точки $M(2; 4)$

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (3x^2 - 2) \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C = x^3 - 2x + C$.

Используем координаты точки $M(2; 4)$ для нахождения $C$:

$F(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + C = 4$

$8 - 4 + C = 4$

$4 + C = 4$

$C = 0$

Искомая первообразная: $F(x) = x^3 - 2x$.

График функции $F(x) = x^3 - 2x$ – кубическая парабола. График проходит через начало координат, так как $F(0) = 0$. Найдем точки пересечения с осью OX: $x^3 - 2x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 2) = 0$, откуда $x_1=0$, $x_2=-\sqrt{2}$, $x_3=\sqrt{2}$. Функция является нечетной, так как $F(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -F(x)$, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через заданную точку $M(2; 4)$.

Ответ: $F(x) = x^3 - 2x$. График — кубическая парабола, проходящая через точки $(-\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$ и $(2; 4)$.

3) Для функции $f(x) = 1 + \sin x$ и точки $M(0; 1)$

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (1 + \sin x) \,dx = x - \cos x + C$.

Используем координаты точки $M(0; 1)$ для нахождения $C$:

$F(0) = 0 - \cos(0) + C = 1$

$-1 + C = 1$

$C = 2$

Искомая первообразная: $F(x) = x - \cos x + 2$.

График функции $F(x) = x - \cos x + 2$ представляет собой график функции $y = -\cos x$, "поднятый" на график прямой $y = x + 2$. То есть, это косинусоида, колеблющаяся вокруг наклонной прямой $y = x + 2$. График проходит через точку $M(0; 1)$, так как $F(0) = 0 - \cos(0) + 2 = 1$.

Ответ: $F(x) = x - \cos x + 2$. График — косинусоида, колеблющаяся вдоль прямой $y = x + 2$.

4) Для функции $f(x) = 3\cos x - 2$ и точки $M(\frac{\pi}{2}; -1)$

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (3\cos x - 2) \,dx = 3\sin x - 2x + C$.

Используем координаты точки $M(\frac{\pi}{2}; -1)$ для нахождения $C$:

$F(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \frac{\pi}{2} + C = -1$

$3 \cdot 1 - \pi + C = -1$

$3 - \pi + C = -1$

$C = \pi - 4$

Искомая первообразная: $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$.

График функции $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$ представляет собой синусоиду $y = 3\sin x$, колеблющуюся вокруг наклонной прямой $y = -2x + \pi - 4$. Амплитуда колебаний равна 3. График проходит через заданную точку $M(\frac{\pi}{2}; -1)$.

Ответ: $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$. График — синусоида с амплитудой 3, колеблющаяся вдоль прямой $y = -2x + \pi - 4$.

5) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{2} + x)}$ и точки $M(-\frac{\pi}{4}; -1)$

Сначала упростим выражение для $f(x)$, используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \tan x + C$.

Используем координаты точки $M(-\frac{\pi}{4}; -1)$ для нахождения $C$:

$F(-\frac{\pi}{4}) = \tan(-\frac{\pi}{4}) + C = -1$

$-1 + C = -1$

$C = 0$

Искомая первообразная: $F(x) = \tan x$.

График функции $F(x) = \tan x$ – это тангенсоида. График имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция периодическая с периодом $\pi$ и проходит через начало координат. Точка $M(-\frac{\pi}{4}; -1)$ лежит на этом графике.

Ответ: $F(x) = \tan x$. График — стандартная тангенсоида.

6) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{2} - x)}$ и точки $M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$

Сначала упростим выражение для $f(x)$, используя формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$:

$f(x) = \frac{1}{(-\sin x)^2} = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = -\cot x + C$.

Используем координаты точки $M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$ для нахождения $C$:

$F(\frac{5\pi}{6}) = -\cot(\frac{5\pi}{6}) + C = \sqrt{3}$

$\cot(\frac{5\pi}{6}) = \cot(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$

$-(-\sqrt{3}) + C = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} + C = \sqrt{3}$

$C = 0$

Искомая первообразная: $F(x) = -\cot x$.

График функции $F(x) = -\cot x$ – это график котангенса, отраженный симметрично относительно оси OX. График имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция периодическая с периодом $\pi$. На каждом интервале области определения функция возрастает. Точка $M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$ лежит на этом графике.

Ответ: $F(x) = -\cot x$. График — котангенсоида, отраженная относительно оси абсцисс.