Номер 1.11, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.11. Найдите общий вид первообразных для функции $y = f(x)$:

1) $f(x)=(x-1)^3$;

2) $f(x)=(1-2x)^2$;

3) $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+11x^{10}$;

4) $f(x)=\frac{1}{x^2}+12x^8$.

1) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла $\int f(x) dx$. Для функции $f(x)=(x-1)^3$ имеем:

$F(x) = \int (x-1)^3 dx$.

Это интеграл от степенной функции вида $(kx+b)^n$. Воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $k=1$, $b=-1$, $n=3$.

$F(x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{(x-1)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x-1)^4}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{(x-1)^4}{4} + C$.

2) Для функции $f(x)=(1-2x)^2$ находим первообразную:

$F(x) = \int (1-2x)^2 dx$.

Применяем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $k=-2$, $b=1$, $n=2$.

$F(x) = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1-2x)^{2+1}}{2+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1-2x)^3}{3} + C = -\frac{(1-2x)^3}{6} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{(1-2x)^3}{6} + C$.

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 11x^{10}$ находим первообразную, используя правило интегрирования суммы: $\int (g(x)+h(x))dx = \int g(x)dx + \int h(x)dx$.

$F(x) = \int \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 11x^{10}\right) dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx + \int 11x^{10} dx$.

Первый интеграл является табличным, так как производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Следовательно, $\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \sqrt{x}$.

Для второго интеграла используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$\int 11x^{10} dx = 11 \int x^{10} dx = 11 \cdot \frac{x^{10+1}}{10+1} = 11 \cdot \frac{x^{11}}{11} = x^{11}$.

Складывая результаты и добавляя константу, получаем:

$F(x) = \sqrt{x} + x^{11} + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + x^{11} + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2} + 12x^8$ находим первообразную:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{x^2} + 12x^8\right) dx = \int x^{-2} dx + \int 12x^8 dx$.

Используем формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Для первого слагаемого ($n=-2$):

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Для второго слагаемого ($n=8$):

$\int 12x^8 dx = 12 \int x^8 dx = 12 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} = 12 \cdot \frac{x^9}{9} = \frac{4}{3}x^9$.

Складывая результаты и добавляя константу, получаем:

$F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{4}{3}x^9 + C$.