Номер 1.16, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Докажите, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ (1.16–1.17):

1.16. 1) $F(x) = -\frac{1}{4}\cos{2x} - \frac{1}{2}\cos{x} + \pi,$ $f(x) = \cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{3x}{2}};$

2) $F(x) = -\frac{3}{8}\cos{\frac{4x}{3}} + \frac{3}{4}\cos{\frac{2x}{3}} - 7,$ $f(x) = \sin{\frac{x}{3}}\cos{x}.$

1)

Чтобы доказать, что функция $y=F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Сначала найдем производную функции $F(x) = -\frac{1}{4}\cos{2x} - \frac{1}{2}\cos{x} + \pi$.

Используя правила дифференцирования и производную косинуса $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$, получаем:

$F'(x) = \left(-\frac{1}{4}\cos{2x} - \frac{1}{2}\cos{x} + \pi\right)' = -\frac{1}{4}(-\sin(2x) \cdot 2) - \frac{1}{2}(-\sin x) + 0 = \frac{2}{4}\sin{2x} + \frac{1}{2}\sin{x} = \frac{1}{2}\sin{2x} + \frac{1}{2}\sin{x}$.

Для удобства сравнения с $f(x)$, преобразуем полученное выражение, используя формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$F'(x) = \frac{1}{2}(\sin{2x} + \sin{x}) = \frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{2x+x}{2}\cos\frac{2x-x}{2} = \sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Теперь рассмотрим функцию $f(x)$, данную в условии: $f(x) = \cos^2{\frac{x}{2}}\sin{\frac{3x}{2}}$.

Проверим равенство $F'(x) = f(x)$:

$\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} = \cos^2{\frac{x}{2}}\sin{\frac{3x}{2}}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} - \cos^2{\frac{x}{2}}\sin{\frac{3x}{2}} = 0$

$\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}(1 - \cos\frac{x}{2}) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $x$, чтобы быть тождеством. Однако оно верно только в случаях, когда $\sin\frac{3x}{2}=0$, или $\cos\frac{x}{2}=0$, или $1 - \cos\frac{x}{2}=0$ (т.е. $\cos\frac{x}{2}=1$). Это не выполняется для произвольного $x$. Например, подставим $x = \frac{\pi}{3}$:

Левая часть: $F'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{6} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Правая часть: $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \frac{3}{4}$.

Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{3}{4}$, равенство $F'(x) = f(x)$ не является тождеством.

Ответ: Утверждение неверно, так как $F'(x) \neq f(x)$. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка (скорее всего, в степени у косинуса в функции $f(x)$).

2)

Аналогично первому пункту, проверим равенство $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную функции $F(x) = -\frac{3}{8}\cos{\frac{4x}{3}} + \frac{3}{4}\cos{\frac{2x}{3}} - 7$:

$F'(x) = \left(-\frac{3}{8}\cos{\frac{4x}{3}} + \frac{3}{4}\cos{\frac{2x}{3}} - 7\right)' = -\frac{3}{8}\left(-\sin\frac{4x}{3} \cdot \frac{4}{3}\right) + \frac{3}{4}\left(-\sin\frac{2x}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) - 0$

$F'(x) = \frac{12}{24}\sin\frac{4x}{3} - \frac{6}{12}\sin\frac{2x}{3} = \frac{1}{2}\sin\frac{4x}{3} - \frac{1}{2}\sin\frac{2x}{3}$.

Преобразуем полученное выражение, используя формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$F'(x) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{4x}{3} - \sin\frac{2x}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot 2\cos\frac{\frac{4x}{3}+\frac{2x}{3}}{2}\sin\frac{\frac{4x}{3}-\frac{2x}{3}}{2} = \cos\frac{2x}{2}\sin\frac{x/3}{2/1} = \cos(x)\sin\frac{x}{3}$.

Теперь рассмотрим функцию $f(x)$, данную в условии: $f(x) = \sin^3{\frac{x}{3}}\cos{x}$.

Проверим равенство $F'(x) = f(x)$:

$\cos(x)\sin\frac{x}{3} = \sin^3{\frac{x}{3}}\cos{x}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\cos(x)\sin\frac{x}{3} - \sin^3{\frac{x}{3}}\cos{x} = 0$

$\cos(x)\sin\frac{x}{3}(1 - \sin^2\frac{x}{3}) = 0$

$\cos(x)\sin\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3} = 0$

Это равенство также не является тождеством. Оно выполняется только при определённых значениях $x$. Например, подставим $x = \pi$:

Левая часть: $F'(\pi) = \cos(\pi)\sin\frac{\pi}{3} = -1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Правая часть: $f(\pi) = \sin^3\frac{\pi}{3}\cos(\pi) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \cdot (-1) = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Поскольку $-\frac{\sqrt{3}}{2} \neq -\frac{3\sqrt{3}}{8}$, равенство $F'(x) = f(x)$ не является тождеством.

Ответ: Утверждение неверно, так как $F'(x) \neq f(x)$. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка (скорее всего, в степени у синуса в функции $f(x)$).