Номер 1.10, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.10. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int (3x - 2)^2 dx;$

2) $\int ((2 - x)^4 - 17x^9 + \sqrt{2}) dx;$

3) $\int (\sin 5x - 2(4x - 1)^5) dx;$

4) $\int \left(\frac{1}{\sin^2 5x} - \frac{3}{x^{10}}\right) dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int(3x - 2)^2dx$ можно сначала раскрыть квадрат двучлена, а затем применить свойства интегралов и таблицу основных интегралов.

Раскроем скобки по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Теперь интегрируем полученный многочлен:

$\int(9x^2 - 12x + 4)dx = \int 9x^2dx - \int 12xdx + \int 4dx$.

Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$9\int x^2dx - 12\int xdx + 4\int dx = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 12 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 4x + C = 9 \frac{x^3}{3} - 12 \frac{x^2}{2} + 4x + C$.

Упрощаем выражение:

$3x^3 - 6x^2 + 4x + C$.

Ответ: $3x^3 - 6x^2 + 4x + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int((2 - x)^4 - 17x^9 + \sqrt{2})dx$ воспользуемся свойством линейности интеграла, то есть проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности.

$\int((2 - x)^4 - 17x^9 + \sqrt{2})dx = \int(2 - x)^4dx - \int 17x^9dx + \int \sqrt{2}dx$.

1. Для первого слагаемого $\int(2 - x)^4dx$ используем метод замены переменной. Пусть $t = 2 - x$, тогда $dt = -dx$, или $dx = -dt$.

$\int(2 - x)^4dx = \int t^4(-dt) = -\int t^4dt = -\frac{t^5}{5} + C_1 = -\frac{(2 - x)^5}{5} + C_1$.

2. Для второго слагаемого $\int 17x^9dx$ выносим константу и применяем формулу для степенной функции:

$\int 17x^9dx = 17\int x^9dx = 17 \cdot \frac{x^{10}}{10} + C_2$.

3. Третье слагаемое $\sqrt{2}$ является константой:

$\int \sqrt{2}dx = \sqrt{2}x + C_3$.

Объединяем все части, складывая константы в одну $C = C_1 - C_2 + C_3$:

$-\frac{(2 - x)^5}{5} - \frac{17x^{10}}{10} + \sqrt{2}x + C$.

Ответ: $-\frac{(2 - x)^5}{5} - \frac{17x^{10}}{10} + \sqrt{2}x + C$.

3) Найдём интеграл $\int(\sin(5x) - 2(4x - 1)^5)dx$, разбив его на два интеграла.

$\int(\sin(5x) - 2(4x - 1)^5)dx = \int \sin(5x)dx - 2\int (4x - 1)^5dx$.

1. Найдём $\int \sin(5x)dx$. Используем табличный интеграл $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В нашем случае $k=5$.

$\int \sin(5x)dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C_1$.

2. Найдём $\int (4x - 1)^5dx$. Используем табличный интеграл для сложной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k=4$, $b=-1$, $n=5$.

$2\int (4x - 1)^5dx = 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \frac{(4x-1)^{5+1}}{5+1}\right) + C_2 = 2 \cdot \frac{1}{4} \frac{(4x-1)^6}{6} + C_2 = \frac{(4x-1)^6}{12} + C_2$.

Объединяем результаты:

$-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{(4x - 1)^6}{12} + C$, где $C = C_1 - C_2$.

Ответ: $-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{(4x - 1)^6}{12} + C$.

4) Найдём интеграл $\int\left(\frac{1}{\sin^2 5x} - \frac{3}{x^{10}}\right)dx$, разбив его на два интеграла.

$\int\left(\frac{1}{\sin^2 5x} - \frac{3}{x^{10}}\right)dx = \int\frac{1}{\sin^2 5x}dx - \int\frac{3}{x^{10}}dx$.

1. Найдём $\int\frac{1}{\sin^2 5x}dx$. Используем табличный интеграл $\int\frac{1}{\sin^2(kx)}dx = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$. В данном случае $k=5$.

$\int\frac{1}{\sin^2 5x}dx = -\frac{1}{5}\cot(5x) + C_1$.

2. Найдём $\int\frac{3}{x^{10}}dx$. Перепишем подынтегральное выражение в виде степенной функции $3x^{-10}$.

$\int 3x^{-10}dx = 3\int x^{-10}dx = 3 \cdot \frac{x^{-10+1}}{-10+1} + C_2 = 3 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} + C_2 = -\frac{1}{3}x^{-9} + C_2 = -\frac{1}{3x^9} + C_2$.

Объединяем результаты и вычитаем второй из первого:

$-\frac{1}{5}\cot(5x) - \left(-\frac{1}{3x^9}\right) + C = -\frac{1}{5}\cot(5x) + \frac{1}{3x^9} + C$, где $C = C_1 - C_2$.

Ответ: $-\frac{1}{5}\cot(5x) + \frac{1}{3x^9} + C$.