Номер 1.5, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.5. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b)$, и постройте график $F(x)$:

1) $f(x) = x + 1, M(-2; 3);$

2) $f(x) = 4 + x, M(-2; 3);$

3) $f(x) = \sin x, (\frac{\pi}{2}; 1);$

4) $f(x) = \cos x, M(\pi; -1).$

1) Дана функция $f(x) = x + 1$ и точка $M(-2; 3)$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (x + 1) dx = \int x dx + \int 1 dx = \frac{x^2}{2} + x + C$, где C – произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(-2; 3)$, подставим координаты этой точки в уравнение для $F(x)$:

$F(-2) = 3$

$\frac{(-2)^2}{2} + (-2) + C = 3$

$\frac{4}{2} - 2 + C = 3$

$2 - 2 + C = 3$

$C = 3$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + 3$.

Графиком этой функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{2} > 0$). Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (1/2)} = -1$

$y_0 = F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + (-1) + 3 = \frac{1}{2} - 1 + 3 = 2.5$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 2.5)$. График также проходит через заданную точку $M(-2; 3)$ и точку $(0; 3)$ (пересечение с осью OY).

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + 3$.

2) Дана функция $f(x) = 4 + x$ и точка $M(-2; 3)$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (4 + x) dx = \int 4 dx + \int x dx = 4x + \frac{x^2}{2} + C$.

Подставим координаты точки $M(-2; 3)$ в уравнение для $F(x)$, чтобы найти $C$:

$F(-2) = 3$

$4(-2) + \frac{(-2)^2}{2} + C = 3$

$-8 + \frac{4}{2} + C = 3$

$-8 + 2 + C = 3$

$-6 + C = 3$

$C = 9$

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 4x + 9$.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2} > 0$). Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (1/2)} = -4$

$y_0 = F(-4) = \frac{(-4)^2}{2} + 4(-4) + 9 = \frac{16}{2} - 16 + 9 = 8 - 16 + 9 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(-4; 1)$. График проходит через точку $M(-2; 3)$ и точку $(0; 9)$ (пересечение с осью OY).

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 4x + 9$.

3) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $M(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.

Подставим координаты точки $M(\frac{\pi}{2}; 1)$:

$F(\frac{\pi}{2}) = 1$

$-\cos(\frac{\pi}{2}) + C = 1$

$0 + C = 1$

$C = 1$

Искомая первообразная: $F(x) = 1 - \cos x$.

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ следующими преобразованиями:

1. Симметричное отражение относительно оси OX, что дает график $y = -\cos x$.

2. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

График представляет собой косинусоиду, колеблющуюся относительно прямой $y=1$. Максимальные значения равны 2 (при $x=\pi+2\pi n$), минимальные значения равны 0 (при $x=2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Ответ: $F(x) = 1 - \cos x$.

4) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $M(\pi; -1)$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \cos x dx = \sin x + C$.

Подставим координаты точки $M(\pi; -1)$:

$F(\pi) = -1$

$\sin(\pi) + C = -1$

$0 + C = -1$

$C = -1$

Искомая первообразная: $F(x) = \sin x - 1$.

График этой функции получается из графика $y = \sin x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

График представляет собой синусоиду, колеблющуюся относительно прямой $y=-1$. Максимальные значения равны 0 (при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$), минимальные значения равны -2 (при $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через точку $M(\pi; -1)$.

Ответ: $F(x) = \sin x - 1$.