Страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите первообразные следующих функций (1.1-1.2):

1.1.1) $f(x) = 3x;$

2) $f(x) = 4x^2 + x - 2;$

3) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 1;$

4) $f(x) = \frac{1}{x^2}.$

1.1.1) 1) Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = 3x$, мы используем основное правило интегрирования степенной функции: первообразная для $x^n$ есть $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

В нашем случае, функция $f(x) = 3x = 3x^1$, где коэффициент равен 3, а степень $n=1$.

Первообразная $F(x)$ находится по формуле:

$F(x) = \int 3x \,dx = 3 \int x^1 \,dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{3}{2}x^2 + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^2 + C$.

2) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 4x^2 + x - 2$ мы воспользуемся правилом интегрирования суммы/разности функций, которое гласит, что первообразная суммы/разности равна сумме/разности первообразных. Мы найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности.

1. Для $4x^2$: используя правило для степенной функции, где $n=2$, первообразная равна $4 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{4x^3}{3}$.

2. Для $x$: здесь $x = x^1$, так что $n=1$. Первообразная равна $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

3. Для $-2$: это константа. Первообразная для константы $k$ равна $kx$. Значит, для $-2$ первообразная равна $-2x$.

Теперь сложим все полученные первообразные и добавим общую константу интегрирования $C$:

$F(x) = \frac{4}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{4}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C$.

3) Функция задана как $f(x) = \frac{x^3}{3} + 1$. Это сумма двух слагаемых: $\frac{1}{3}x^3$ и $1$. Найдем первообразную для каждого из них.

1. Для $\frac{1}{3}x^3$: по правилу для степенной функции ($n=3$), первообразная равна $\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{12}$.

2. Для $1$: это константа, ее первообразная равна $1 \cdot x = x$.

Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = \frac{x^4}{12} + x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{12} + x + C$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$. Для нахождения ее первообразной удобно представить ее в виде степени с отрицательным показателем: $f(x) = x^{-2}$.

Теперь мы можем применить правило интегрирования степенной функции для $n=-2$:

$F(x) = \int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$.

Выполним вычисления в показателе и знаменателе:

$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C$.

Вернемся к записи в виде дроби:

$F(x) = -\frac{1}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + C$.

1.2 1) $f(x) = 2\sin x;$

2) $f(x) = 5\cos x;$

3) $f(x) = 3\cos x - 4\sin x;$

4) $f(x) = 5\sin x + 2\cos x;$

5) $f(x) = x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}};$

6) $f(x) = x^3 - \frac{4}{\sqrt{x}};$

7) $f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{6}\right);$

8) $f(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right).$

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 2\sin x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл. Первообразная $F(x)$ — это функция, производная которой равна $f(x)$.

$F(x) = \int 2\sin x \,dx$

Используя свойство интеграла, выносим константу за его знак:

$F(x) = 2 \int \sin x \,dx$

По таблице первообразных, интеграл от $\sin x$ равен $-\cos x$. Следовательно:

$F(x) = 2(-\cos x) + C = -2\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = -2\cos x + C$.

2) Находим первообразную для $f(x) = 5\cos x$ путем интегрирования.

$F(x) = \int 5\cos x \,dx = 5 \int \cos x \,dx$

Согласно таблице первообразных, интеграл от $\cos x$ равен $\sin x$. Поэтому:

$F(x) = 5\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 5\sin x + C$.

3) Для функции $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$ используем свойство линейности интеграла (интеграл разности равен разности интегралов).

$F(x) = \int (3\cos x - 4\sin x) \,dx = \int 3\cos x \,dx - \int 4\sin x \,dx$

$F(x) = 3 \int \cos x \,dx - 4 \int \sin x \,dx$

Используя табличные интегралы, получаем:

$F(x) = 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$.

Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C$.

4) Для функции $f(x) = 5\sin x + 2\cos x$ используем свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов).

$F(x) = \int (5\sin x + 2\cos x) \,dx = \int 5\sin x \,dx + \int 2\cos x \,dx$

$F(x) = 5 \int \sin x \,dx + 2 \int \cos x \,dx$

Используя табличные интегралы, получаем:

$F(x) = 5(-\cos x) + 2(\sin x) + C = 2\sin x - 5\cos x + C$.

Ответ: $F(x) = 2\sin x - 5\cos x + C$.

5) Сначала преобразуем функцию $f(x) = x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}}$ к виду, удобному для интегрирования, используя свойства степеней: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.

$f(x) = x^2 + 3x^{-1/2}$

Теперь находим первообразную, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^2 + 3x^{-1/2}) \,dx = \int x^2 \,dx + 3 \int x^{-1/2} \,dx$

$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 6x^{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 6\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 6\sqrt{x} + C$.

6) Преобразуем функцию $f(x) = x^3 - \frac{4}{\sqrt{x}}$ к степенному виду: $f(x) = x^3 - 4x^{-1/2}$.

Находим первообразную, используя правило интегрирования степенной функции.

$F(x) = \int (x^3 - 4x^{-1/2}) \,dx = \int x^3 \,dx - 4 \int x^{-1/2} \,dx$

$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^4}{4} - 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^{1/2} + C = \frac{x^4}{4} - 8\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 8\sqrt{x} + C$.

7) Для нахождения первообразной сложной функции $f(x) = \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$ используется формула $\int \sin(kx+b) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.

В данном случае, коэффициент $k=3$, а сдвиг $b = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = \int \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \,dx = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.

8) Для нахождения первообразной сложной функции $f(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ используется формула $\int \cos(kx+b) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.

В данном случае, коэффициент $k=2$, а сдвиг $b = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = \int \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \,dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.

1.3. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int \left(3x^5 + \frac{7}{2\sqrt{x}}\right) dx;$

2) $\int \left(3\cos 5x - \frac{1}{x^2}\right) dx;$

3) $\int \left(8\sin x - \frac{2}{\sin^2 2x}\right) dx;$

4) $\int \left(2\sin 3x - 5x^7 + 3\right) dx;$

5) $\int \left(\frac{3}{x^7} - \frac{7}{\cos^2 x}\right) dx;$

6) $\int \left(7 - \frac{5}{\sin^2 x}\right) dx.$

1) Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и таблицей основных интегралов.

$\int(3x^5 + \frac{7}{2\sqrt{x}})dx = \int 3x^5 dx + \int \frac{7}{2\sqrt{x}} dx$

Вынесем постоянные множители за знак интеграла:

$3 \int x^5 dx + \frac{7}{2} \int x^{-1/2} dx$

Применяем формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^6}{6} + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^6}{2} + 7x^{1/2} + C = \frac{x^6}{2} + 7\sqrt{x} + C$

Ответ: $\frac{x^6}{2} + 7\sqrt{x} + C$

2) Разобьем интеграл на два и вынесем постоянные множители:

$\int(3\cos 5x - \frac{1}{x^2})dx = \int 3\cos 5x dx - \int \frac{1}{x^2} dx = 3\int \cos 5x dx - \int x^{-2} dx$

Используем табличные интегралы $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$3 \cdot \frac{1}{5}\sin 5x - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{3}{5}\sin 5x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{3}{5}\sin 5x + \frac{1}{x} + C$

Ответ: $\frac{3}{5}\sin 5x + \frac{1}{x} + C$

3) Используем свойство линейности интеграла:

$\int(8\sin x - \frac{2}{\sin^2 2x})dx = \int 8\sin x dx - \int \frac{2}{\sin^2 2x} dx = 8\int \sin x dx - 2\int \frac{1}{\sin^2 2x} dx$

Применяем табличные интегралы $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} dx = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$:

$8(-\cos x) - 2(-\frac{1}{2}\cot 2x) + C = -8\cos x + \cot 2x + C$

Ответ: $-8\cos x + \cot 2x + C$

4) Разобьем интеграл на сумму интегралов:

$\int(2\sin 3x - 5x^7 + 3)dx = \int 2\sin 3x dx - \int 5x^7 dx + \int 3 dx$

Выносим константы и интегрируем каждое слагаемое по отдельности, используя табличные формулы:

$2\int \sin 3x dx - 5\int x^7 dx + 3\int dx = 2(-\frac{1}{3}\cos 3x) - 5\frac{x^8}{8} + 3x + C = -\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{5}{8}x^8 + 3x + C$

Ответ: $-\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{5}{8}x^8 + 3x + C$

5) Разделим интеграл на два и представим первое слагаемое в виде степени:

$\int(\frac{3}{x^7} - \frac{7}{\cos^2 x})dx = \int 3x^{-7} dx - \int \frac{7}{\cos^2 x} dx = 3\int x^{-7} dx - 7\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Применяем табличные интегралы $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$:

$3 \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} - 7\tan x + C = 3 \cdot \frac{x^{-6}}{-6} - 7\tan x + C = -\frac{1}{2}x^{-6} - 7\tan x + C = -\frac{1}{2x^6} - 7\tan x + C$

Ответ: $-\frac{1}{2x^6} - 7\tan x + C$

6) Используем свойство линейности интеграла:

$\int(7 - \frac{5}{\sin^2 x})dx = \int 7 dx - \int \frac{5}{\sin^2 x} dx = 7\int dx - 5\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

Используем табличные интегралы $\int k dx = kx + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$:

$7x - 5(-\cot x) + C = 7x + 5\cot x + C$

Ответ: $7x + 5\cot x + C$

1.4. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную, график которой проходит через начало координат:

1) $f(x) = (x+1)(x+3);$

2) $f(x) = (1-x)(3+x);$

3) $f(x) = \frac{x^2}{3} + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$

4) $f(x) = -\frac{x^3}{2} + \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right).$

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y = f(x)$, график которой проходит через начало координат, необходимо выполнить два шага:

1. Найти общий вид первообразной $F(x) = \int f(x)dx + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

2. Использовать условие, что график проходит через начало координат, то есть $F(0) = 0$, чтобы найти значение постоянной $C$.

1) Для функции $f(x) = (x + 1)(x + 3)$, сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$f(x) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3$.

Теперь найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (x^2 + 4x + 3) dx = \frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + 3x + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + C$.

Используем условие $F(0) = 0$:

$F(0) = \frac{0^3}{3} + 2(0)^2 + 3(0) + C = 0$

$0 + C = 0$, откуда $C = 0$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x$.

2) Для функции $f(x) = (1 - x)(3 + x)$, сначала упростим выражение:

$f(x) = 3 + x - 3x - x^2 = -x^2 - 2x + 3$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (-x^2 - 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x + C = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x + C$.

Используем условие $F(0) = 0$:

$F(0) = -\frac{0^3}{3} - 0^2 + 3(0) + C = 0$

$0 + C = 0$, откуда $C = 0$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.

3) Для функции $f(x) = \frac{x^2}{3} + \sin(x + \frac{\pi}{3})$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (\frac{x^2}{3} + \sin(x + \frac{\pi}{3})) dx = \frac{1}{3}\frac{x^3}{3} - \cos(x + \frac{\pi}{3}) + C = \frac{x^3}{9} - \cos(x + \frac{\pi}{3}) + C$.

Используем условие $F(0) = 0$:

$F(0) = \frac{0^3}{9} - \cos(0 + \frac{\pi}{3}) + C = 0$

$-\cos(\frac{\pi}{3}) + C = 0$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то:

$-\frac{1}{2} + C = 0$, откуда $C = \frac{1}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{9} - \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{9} - \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

4) Для функции $f(x) = -\frac{x^3}{2} + \cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (-\frac{x^3}{2} + \cos(x - \frac{\pi}{6})) dx = -\frac{1}{2}\frac{x^4}{4} + \sin(x - \frac{\pi}{6}) + C = -\frac{x^4}{8} + \sin(x - \frac{\pi}{6}) + C$.

Используем условие $F(0) = 0$:

$F(0) = -\frac{0^4}{8} + \sin(0 - \frac{\pi}{6}) + C = 0$

$\sin(-\frac{\pi}{6}) + C = 0$.

Так как $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, то:

$-\frac{1}{2} + C = 0$, откуда $C = \frac{1}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{x^4}{8} + \sin(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^4}{8} + \sin(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2}$.

1.5. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b)$, и постройте график $F(x)$:

1) $f(x) = x + 1, M(-2; 3);$

2) $f(x) = 4 + x, M(-2; 3);$

3) $f(x) = \sin x, (\frac{\pi}{2}; 1);$

4) $f(x) = \cos x, M(\pi; -1).$

1) Дана функция $f(x) = x + 1$ и точка $M(-2; 3)$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (x + 1) dx = \int x dx + \int 1 dx = \frac{x^2}{2} + x + C$, где C – произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(-2; 3)$, подставим координаты этой точки в уравнение для $F(x)$:

$F(-2) = 3$

$\frac{(-2)^2}{2} + (-2) + C = 3$

$\frac{4}{2} - 2 + C = 3$

$2 - 2 + C = 3$

$C = 3$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + 3$.

Графиком этой функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{2} > 0$). Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (1/2)} = -1$

$y_0 = F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + (-1) + 3 = \frac{1}{2} - 1 + 3 = 2.5$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 2.5)$. График также проходит через заданную точку $M(-2; 3)$ и точку $(0; 3)$ (пересечение с осью OY).

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + 3$.

2) Дана функция $f(x) = 4 + x$ и точка $M(-2; 3)$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (4 + x) dx = \int 4 dx + \int x dx = 4x + \frac{x^2}{2} + C$.

Подставим координаты точки $M(-2; 3)$ в уравнение для $F(x)$, чтобы найти $C$:

$F(-2) = 3$

$4(-2) + \frac{(-2)^2}{2} + C = 3$

$-8 + \frac{4}{2} + C = 3$

$-8 + 2 + C = 3$

$-6 + C = 3$

$C = 9$

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 4x + 9$.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2} > 0$). Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (1/2)} = -4$

$y_0 = F(-4) = \frac{(-4)^2}{2} + 4(-4) + 9 = \frac{16}{2} - 16 + 9 = 8 - 16 + 9 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(-4; 1)$. График проходит через точку $M(-2; 3)$ и точку $(0; 9)$ (пересечение с осью OY).

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 4x + 9$.

3) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $M(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.

Подставим координаты точки $M(\frac{\pi}{2}; 1)$:

$F(\frac{\pi}{2}) = 1$

$-\cos(\frac{\pi}{2}) + C = 1$

$0 + C = 1$

$C = 1$

Искомая первообразная: $F(x) = 1 - \cos x$.

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ следующими преобразованиями:

1. Симметричное отражение относительно оси OX, что дает график $y = -\cos x$.

2. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

График представляет собой косинусоиду, колеблющуюся относительно прямой $y=1$. Максимальные значения равны 2 (при $x=\pi+2\pi n$), минимальные значения равны 0 (при $x=2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Ответ: $F(x) = 1 - \cos x$.

4) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $M(\pi; -1)$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \cos x dx = \sin x + C$.

Подставим координаты точки $M(\pi; -1)$:

$F(\pi) = -1$

$\sin(\pi) + C = -1$

$0 + C = -1$

$C = -1$

Искомая первообразная: $F(x) = \sin x - 1$.

График этой функции получается из графика $y = \sin x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

График представляет собой синусоиду, колеблющуюся относительно прямой $y=-1$. Максимальные значения равны 0 (при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$), минимальные значения равны -2 (при $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через точку $M(\pi; -1)$.

Ответ: $F(x) = \sin x - 1$.

1.6. Найдите первообразную $F(x)$ функции $y = f(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b):$

1) $f(x) = x^{-2}$, $M(1; -1)$;

2) $f(x) = x^{-3}$, $M(-1; 0)$;

3) $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$, $x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right)$, $M\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$;

4) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x} + 1$, $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right]$, $M\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right)$.

1)

Для функции $f(x) = x^{-2}$ и точки $M(1; -1)$.

Общий вид первообразной для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $n = -2$, поэтому общая первообразная для $f(x)$ имеет вид:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $M(1; -1)$, это означает, что при $x=1$ значение $F(x)$ равно $-1$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$F(1) = -1$

$-\frac{1}{1} + C = -1$

$-1 + C = -1$

$C = 0$

Следовательно, искомая первообразная имеет вид $F(x) = -\frac{1}{x}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x}$.

2)

Для функции $f(x) = x^{-3}$ и точки $M(-1; 0)$.

Используя ту же формулу для интегрирования степенной функции, где $n = -3$, находим общую первообразную:

$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(-1; 0)$, поэтому $F(-1) = 0$. Подставим значения и найдем $C$:

$F(-1) = 0$

$-\frac{1}{2(-1)^2} + C = 0$

$-\frac{1}{2} + C = 0$

$C = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}$.

3)

Для функции $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$ и точки $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$.

Находим общую первообразную, интегрируя функцию по частям. Первообразная от константы 2 равна $2x$, а первообразная от $\frac{1}{\cos^2 x}$ является табличной и равна $\tan x$.

$F(x) = \int (2 - \frac{1}{\cos^2 x}) dx = \int 2 dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 2x - \tan x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, значит $F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$. Подставим значения:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$

$2 \cdot \frac{\pi}{4} - \tan(\frac{\pi}{4}) + C = \frac{\pi}{2}$

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$\frac{\pi}{2} - 1 + C = \frac{\pi}{2}$

$C = 1$

Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = 2x - \tan x + 1$.

Ответ: $F(x) = 2x - \tan x + 1$.

4)

Для функции $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x} + 1$ и точки $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Находим общую первообразную. Первообразная от $\frac{1}{\sin^2 x}$ является табличной и равна $-\cot x$, а первообразная от 1 равна $x$.

$F(x) = \int (\frac{2}{\sin^2 x} + 1) dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx + \int 1 dx = 2(-\cot x) + x + C = -2\cot x + x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$, значит $F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$. Подставим значения:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$

$-2\cot(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

Зная, что $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$-2 \cdot 1 + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

$-2 + C = 0$

$C = 2$

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -2\cot x + x + 2$.

Ответ: $F(x) = -2\cot x + x + 2$.