Страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В каких случаях для нахождения неопределенного интеграла используется метод замены переменной?

2. В каких случаях применяется интегрирование по частям?

1. Метод замены переменной (или метод подстановки) используется для нахождения неопределенного интеграла, когда подынтегральное выражение можно упростить, введя новую переменную. Основная идея заключается в том, чтобы свести сложный интеграл к более простому, как правило, табличному интегралу.

Формула замены переменной выглядит так: $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$, где $u = g(x)$ и, соответственно, дифференциал $du = g'(x)dx$.

Метод эффективен в следующих типовых ситуациях:

• Когда подынтегральная функция является произведением некоторой сложной функции $f(g(x))$ и производной ее внутреннего аргумента $g'(x)$. Например, в интеграле $\int \cos(x^3) \cdot 3x^2 dx$ мы видим функцию $\cos(x^3)$ и производную ее аргумента $(x^3)' = 3x^2$. Сделав замену $u = x^3$, $du = 3x^2 dx$, мы получим простой табличный интеграл $\int \cos(u) du = \sin(u) + C = \sin(x^3) + C$.

• Когда в подынтегральном выражении присутствует функция и ее дифференциал (с точностью до постоянного множителя). Например, $\int \frac{\ln(x)}{x} dx$. Здесь можно заметить, что производная от $\ln(x)$ равна $\frac{1}{x}$. Поэтому, выбрав $u = \ln(x)$, получим $du = \frac{1}{x} dx$. Интеграл сводится к $\int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

• Для упрощения выражений, содержащих корни или сложные тригонометрические/показательные конструкции. Например, в интеграле $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$ можно сделать замену $u = \sqrt{x}$, откуда $x=u^2$ и $dx = 2u du$. Интеграл преобразуется к $\int \frac{2u du}{1+u}$, который является интегралом от рациональной функции и решается проще.

Ответ: Метод замены переменной используется, когда подынтегральное выражение можно представить в виде $f(g(x))g'(x)$, то есть когда оно содержит сложную функцию и производную её «внутренней» части, что позволяет путём введения новой переменной $u=g(x)$ свести исходный интеграл к более простому (часто табличному) виду $\int f(u)du$.

2. Метод интегрирования по частям применяется для нахождения интеграла от произведения двух функций. Он основан на правиле дифференцирования произведения двух функций и является одним из основных методов интегрирования.

Формула интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$.

Цель метода — выбрать функции $u$ и $dv$ таким образом, чтобы новый интеграл $\int v du$ оказался проще исходного $\int u dv$. Успех применения метода во многом зависит от правильного выбора $u$ и $dv$.

Интегрирование по частям, как правило, применяется в следующих случаях:

• Подынтегральная функция является произведением многочлена на одну из следующих функций: показательную ($e^x, a^x$), тригонометрическую ($\sin x, \cos x$) или гиперболическую ($\mathrm{sh} x, \mathrm{ch} x$). В этом случае за $u$ обычно принимают многочлен, так как при дифференцировании его степень понижается. Например, для $\int x \cos(x) dx$ выбирают $u=x$ и $dv=\cos(x)dx$.

• Подынтегральная функция является произведением логарифмической ($\ln x$) или обратной тригонометрической ($\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \mathrm{arccot} x$) функции на многочлен (включая случай, когда многочлен — это просто 1). В этих случаях за $u$ всегда берут логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию, так как их производные являются алгебраическими функциями, что упрощает новый интеграл. Например, для $\int \arctan(x) dx$ выбирают $u = \arctan(x)$ и $dv = dx$.

• Подынтегральная функция — произведение показательной и тригонометрической функций, например, $\int e^x \sin(x) dx$. В таких случаях метод применяется дважды, что приводит к уравнению относительно исходного интеграла, из которого его и находят. Такие интегралы называют "возвратными".

Существует мнемоническое правило для выбора функции $u$: ILATE (Inverse trigonometric, Logarithmic, Algebraic, Trigonometric, Exponential) или в русском варианте ЛИАТ (Логарифмические, Инверсные тригонометрические, Алгебраические, Тригонометрические, Экспоненциальные). Функция, которая стоит в этом списке раньше, обычно выбирается в качестве $u$.

Ответ: Интегрирование по частям применяется для интегралов от произведения функций, особенно когда одна из них при дифференцировании упрощается (например, многочлен), а другая легко интегрируется (например, $\sin x, e^x$), или когда одна из функций не имеет простого табличного интеграла, но имеет простую производную (например, $\ln x, \arctan x$).