Страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.13. Найдите множество значений функции:

1) $f(x) = 2x + \sin 2x$;

2) $f(x) = \sin 2x \cos 2x$;

3) $f(x) = 1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}$;

4) $f(x) = \operatorname{tg} 2x \operatorname{ctg} 2x$.

1) Функция $f(x) = 2x + \sin(2x)$ определена для всех действительных чисел $x$, так как оба слагаемых, $2x$ и $\sin(2x)$, определены на всей числовой оси. Чтобы найти множество значений, исследуем функцию на монотонность с помощью производной.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x + \sin(2x))' = 2 + \cos(2x) \cdot (2x)' = 2 + 2\cos(2x) = 2(1 + \cos(2x))$.

Мы знаем, что значение косинуса находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Тогда $0 \le 1 + \cos(2x) \le 2$.

Следовательно, $0 \le 2(1 + \cos(2x)) \le 4$, то есть $f'(x) \ge 0$ для всех $x$.

Так как производная функции неотрицательна, функция $f(x)$ является неубывающей на всей числовой оси. Поскольку производная обращается в ноль только в отдельных точках (где $\cos(2x) = -1$), функция является строго возрастающей.

Найдем пределы функции на бесконечности:

$\lim_{x\to+\infty} (2x + \sin(2x)) = +\infty$, так как $2x$ неограниченно возрастает, а $\sin(2x)$ принимает значения в отрезке $[-1, 1]$.

$\lim_{x\to-\infty} (2x + \sin(2x)) = -\infty$, так как $2x$ неограниченно убывает, а $\sin(2x)$ ограничена.

Поскольку функция непрерывна и возрастает от $-\infty$ до $+\infty$, ее множество значений — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \sin(2x)\cos(2x)$ используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к нашей функции, взяв $\alpha = 2x$:

$f(x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$.

Множество значений функции синус, независимо от ее аргумента, есть отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin(4x) \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на $\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin(4x) \le \frac{1}{2}$.

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = 1 + \sqrt{x^2+2x-3}$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2+2x-3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Так как парабола $y = x^2+2x-3$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$. Это и есть область определения функции.

Пусть $g(x) = x^2+2x-3$. На своей области определения $g(x)$ принимает значения от 0 (в точках $x=-3$ и $x=1$) до $+\infty$ (при $x \to \pm\infty$).

Следовательно, множество значений подкоренного выражения есть $[0; +\infty)$.

Тогда выражение $\sqrt{x^2+2x-3}$ принимает значения из промежутка $[0; +\infty)$.

Поскольку $f(x) = 1 + \sqrt{x^2+2x-3}$, а $\sqrt{x^2+2x-3} \ge 0$, то $f(x) \ge 1+0=1$.

Так как $\sqrt{x^2+2x-3}$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $f(x)$ может быть сколь угодно большой.

Таким образом, множество значений функции — это луч $[1; +\infty)$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \text{tg}2x \cdot \text{ctg}2x$.

Известно тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$. Применяя его, получаем $f(x)=1$.

Однако это равенство справедливо только для тех $x$, для которых оба множителя, $\text{tg}2x$ и $\text{ctg}2x$, определены.

Функция $\text{tg}2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ определена, когда $\cos 2x \neq 0$, то есть $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $\text{ctg}2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}$ определена, когда $\sin 2x \neq 0$, то есть $2x \neq \pi n$, $x \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция $f(x)$ определена для всех $x$, кроме тех, где $\sin 2x = 0$ или $\cos 2x = 0$.

Для всех $x$ из области определения функции ее значение равно 1.

Следовательно, множество значений функции состоит из одного единственного числа.

Ответ: $\{1\}$.

2.14. Найдите производную функции:

1) $y = \text{tg}^5 x + x^{-2};$

2) $y = \cos^2 2x - 2x;$

3) $y = x^3 \sin 2x;$

4) $y = (x^{-2} - 1)\sin^2 x^2.$

1) $y = \text{tg}^5x + x^{-2}$

Данная функция является суммой двух функций: $f(x) = \text{tg}^5x$ и $g(x) = x^{-2}$. Производная суммы равна сумме производных: $y' = (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Найдем производную первого слагаемого, $f(x) = \text{tg}^5x$. Это сложная функция. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.

Пусть внешняя функция $u(v) = v^5$, а внутренняя $v(x) = \text{tg}x$.

Тогда $u' = 5v^4$ и $v' = (\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Следовательно, $(\text{tg}^5x)' = 5(\text{tg}x)^4 \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{5\text{tg}^4x}{\cos^2x}$.

Найдем производную второго слагаемого, $g(x) = x^{-2}$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$(x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Теперь сложим найденные производные:

$y' = \frac{5\text{tg}^4x}{\cos^2x} - \frac{2}{x^3}$.

Ответ: $y' = \frac{5\text{tg}^4x}{\cos^2x} - \frac{2}{x^3}$.

2) $y = \cos^22x - 2x$

Производная разности равна разности производных: $y' = (\cos^22x)' - (2x)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $(\cos^22x)'$. Это сложная функция. Применим цепное правило дважды.

Пусть $u = \cos(2x)$, тогда функция имеет вид $u^2$. Производная $(u^2)' = 2u \cdot u'$.

Теперь найдем $u' = (\cos(2x))'$. Это тоже сложная функция. Пусть $v = 2x$. Тогда функция имеет вид $\cos(v)$. Производная $(\cos(v))' = -\sin(v) \cdot v'$.

$v' = (2x)' = 2$.

Значит, $u' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

Подставляя обратно, получаем: $(\cos^22x)' = 2\cos(2x) \cdot (-2\sin(2x)) = -4\sin(2x)\cos(2x)$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, мы можем упростить выражение:

$-4\sin(2x)\cos(2x) = -2 \cdot (2\sin(2x)\cos(2x)) = -2\sin(2 \cdot 2x) = -2\sin(4x)$.

Найдем производную второго слагаемого: $(2x)' = 2$.

Итоговая производная:

$y' = -2\sin(4x) - 2$.

Ответ: $y' = -2\sin(4x) - 2$.

3) $y = x^3\sin(2x)$

Эта функция является произведением двух функций: $u(x) = x^3$ и $v(x) = \sin(2x)$. Применим правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u(x)$: $u' = (x^3)' = 3x^2$.

Найдем производную $v(x) = \sin(2x)$. Это сложная функция. По цепному правилу:

$v' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$y' = (3x^2) \cdot \sin(2x) + x^3 \cdot (2\cos(2x)) = 3x^2\sin(2x) + 2x^3\cos(2x)$.

Можно вынести общий множитель $x^2$ за скобки для упрощения:

$y' = x^2(3\sin(2x) + 2x\cos(2x))$.

Ответ: $y' = x^2(3\sin(2x) + 2x\cos(2x))$.

4) $y = (x^2 - 1)\sin^2(x^2)$

Это произведение двух функций: $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = \sin^2(x^2)$. Используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u(x)$: $u' = (x^2 - 1)' = 2x$.

Найдем производную $v(x) = \sin^2(x^2)$. Это сложная функция, применим цепное правило.

Пусть $w = \sin(x^2)$, тогда функция имеет вид $w^2$. Производная $(w^2)' = 2w \cdot w'$.

Теперь найдем $w' = (\sin(x^2))'$. Это тоже сложная функция с внутренней функцией $z = x^2$.

$w' = (\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$.

Подставляя обратно, получаем производную $v(x)$:

$v' = 2\sin(x^2) \cdot (2x\cos(x^2)) = 4x\sin(x^2)\cos(x^2)$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, упростим $v'$:

$v' = 2x \cdot (2\sin(x^2)\cos(x^2)) = 2x\sin(2x^2)$.

Теперь подставим все компоненты в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot \sin^2(x^2) + (x^2 - 1) \cdot (2x\sin(2x^2))$.

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$y' = 2x(\sin^2(x^2) + (x^2 - 1)\sin(2x^2))$.

Ответ: $y' = 2x(\sin^2(x^2) + (x^2 - 1)\sin(2x^2))$.