Номер 2.14, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.14. Найдите производную функции:

1) $y = \text{tg}^5 x + x^{-2};$

2) $y = \cos^2 2x - 2x;$

3) $y = x^3 \sin 2x;$

4) $y = (x^{-2} - 1)\sin^2 x^2.$

1) $y = \text{tg}^5x + x^{-2}$

Данная функция является суммой двух функций: $f(x) = \text{tg}^5x$ и $g(x) = x^{-2}$. Производная суммы равна сумме производных: $y' = (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Найдем производную первого слагаемого, $f(x) = \text{tg}^5x$. Это сложная функция. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.

Пусть внешняя функция $u(v) = v^5$, а внутренняя $v(x) = \text{tg}x$.

Тогда $u' = 5v^4$ и $v' = (\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Следовательно, $(\text{tg}^5x)' = 5(\text{tg}x)^4 \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{5\text{tg}^4x}{\cos^2x}$.

Найдем производную второго слагаемого, $g(x) = x^{-2}$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$(x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Теперь сложим найденные производные:

$y' = \frac{5\text{tg}^4x}{\cos^2x} - \frac{2}{x^3}$.

Ответ: $y' = \frac{5\text{tg}^4x}{\cos^2x} - \frac{2}{x^3}$.

2) $y = \cos^22x - 2x$

Производная разности равна разности производных: $y' = (\cos^22x)' - (2x)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $(\cos^22x)'$. Это сложная функция. Применим цепное правило дважды.

Пусть $u = \cos(2x)$, тогда функция имеет вид $u^2$. Производная $(u^2)' = 2u \cdot u'$.

Теперь найдем $u' = (\cos(2x))'$. Это тоже сложная функция. Пусть $v = 2x$. Тогда функция имеет вид $\cos(v)$. Производная $(\cos(v))' = -\sin(v) \cdot v'$.

$v' = (2x)' = 2$.

Значит, $u' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

Подставляя обратно, получаем: $(\cos^22x)' = 2\cos(2x) \cdot (-2\sin(2x)) = -4\sin(2x)\cos(2x)$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, мы можем упростить выражение:

$-4\sin(2x)\cos(2x) = -2 \cdot (2\sin(2x)\cos(2x)) = -2\sin(2 \cdot 2x) = -2\sin(4x)$.

Найдем производную второго слагаемого: $(2x)' = 2$.

Итоговая производная:

$y' = -2\sin(4x) - 2$.

Ответ: $y' = -2\sin(4x) - 2$.

3) $y = x^3\sin(2x)$

Эта функция является произведением двух функций: $u(x) = x^3$ и $v(x) = \sin(2x)$. Применим правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u(x)$: $u' = (x^3)' = 3x^2$.

Найдем производную $v(x) = \sin(2x)$. Это сложная функция. По цепному правилу:

$v' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$y' = (3x^2) \cdot \sin(2x) + x^3 \cdot (2\cos(2x)) = 3x^2\sin(2x) + 2x^3\cos(2x)$.

Можно вынести общий множитель $x^2$ за скобки для упрощения:

$y' = x^2(3\sin(2x) + 2x\cos(2x))$.

Ответ: $y' = x^2(3\sin(2x) + 2x\cos(2x))$.

4) $y = (x^2 - 1)\sin^2(x^2)$

Это произведение двух функций: $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = \sin^2(x^2)$. Используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u(x)$: $u' = (x^2 - 1)' = 2x$.

Найдем производную $v(x) = \sin^2(x^2)$. Это сложная функция, применим цепное правило.

Пусть $w = \sin(x^2)$, тогда функция имеет вид $w^2$. Производная $(w^2)' = 2w \cdot w'$.

Теперь найдем $w' = (\sin(x^2))'$. Это тоже сложная функция с внутренней функцией $z = x^2$.

$w' = (\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$.

Подставляя обратно, получаем производную $v(x)$:

$v' = 2\sin(x^2) \cdot (2x\cos(x^2)) = 4x\sin(x^2)\cos(x^2)$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, упростим $v'$:

$v' = 2x \cdot (2\sin(x^2)\cos(x^2)) = 2x\sin(2x^2)$.

Теперь подставим все компоненты в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot \sin^2(x^2) + (x^2 - 1) \cdot (2x\sin(2x^2))$.

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$y' = 2x(\sin^2(x^2) + (x^2 - 1)\sin(2x^2))$.

Ответ: $y' = 2x(\sin^2(x^2) + (x^2 - 1)\sin(2x^2))$.