Номер 2.11, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.11. Найдите интеграл:

1) $\int x \mathrm{arcctg} x dx;$

2) $\int x \mathrm{arcctg}^2 x dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int x \operatorname{arcctg} x \, dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = \operatorname{arcctg} x$ и $dv = x \, dx$.

Тогда найдем дифференциал $du$ и функцию $v$:

$du = (\operatorname{arcctg} x)' dx = -\frac{1}{1+x^2} dx$

$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$\int x \operatorname{arcctg} x \, dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x - \int \frac{x^2}{2} \left(-\frac{1}{1+x^2}\right) dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$.

Теперь найдем оставшийся интеграл $\int \frac{x^2}{1+x^2} dx$. Для этого преобразуем подынтегральное выражение, прибавив и вычтя 1 в числителе:

$\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = \int \left(\frac{1+x^2}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = x - \operatorname{arctg} x + C_1$.

Подставим результат обратно в основное выражение:

$\frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{1}{2} (x - \operatorname{arctg} x) + C = \frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{arctg} x + C$.

Для более компактной записи можно использовать тождество $\operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcctg} x$. Подставим его:

$\frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} - \operatorname{arcctg} x\right) + C = \frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} x + C = \frac{x^2+1}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} + C'$, где $C' = C - \frac{\pi}{4}$ — новая константа интегрирования.

Ответ: $\frac{x^2+1}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int x \operatorname{arctg}(2x) \, dx$ также воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = \operatorname{arctg}(2x)$ и $dv = x \, dx$.

Тогда найдем дифференциал $du$ и функцию $v$:

$du = (\operatorname{arctg}(2x))' dx = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 \, dx = \frac{2}{1+4x^2} dx$

$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

Подставляем в формулу:

$\int x \operatorname{arctg}(2x) \, dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg}(2x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2}{1+4x^2} dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg}(2x) - \int \frac{x^2}{1+4x^2} dx$.

Теперь найдем интеграл $\int \frac{x^2}{1+4x^2} dx$. Преобразуем подынтегральное выражение:

$\int \frac{x^2}{1+4x^2} dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^2}{1+4x^2} dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^2+1-1}{1+4x^2} dx = \frac{1}{4} \int \left(1 - \frac{1}{1+4x^2}\right) dx$.

$\frac{1}{4} \left(\int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+(2x)^2} dx\right) = \frac{1}{4} \left(x - \frac{1}{2} \operatorname{arctg}(2x)\right) + C_1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{8} \operatorname{arctg}(2x) + C_1$.

Подставим результат обратно в основное выражение:

$\frac{x^2}{2} \operatorname{arctg}(2x) - \left(\frac{x}{4} - \frac{1}{8} \operatorname{arctg}(2x)\right) + C = \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg}(2x) - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \operatorname{arctg}(2x) + C$.

Сгруппируем слагаемые:

$\left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{8}\right) \operatorname{arctg}(2x) - \frac{x}{4} + C = \frac{4x^2+1}{8} \operatorname{arctg}(2x) - \frac{x}{4} + C$.

Ответ: $\frac{4x^2+1}{8} \operatorname{arctg}(2x) - \frac{x}{4} + C$.