Номер 2.5, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите неопределенный интеграл (2.5.–2.7.)

2.5. 1) $\int x \cdot (2x - 1)^7 dx$;

2) $\int x \cdot (3x + 1)^8 dx$.

1) Для нахождения интеграла $I = \int x \cdot (2x - 1)^7 dx$ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 2x - 1$. Тогда $dt = (2x - 1)' dx = 2 dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.

Также выразим $x$ через $t$: из $t = 2x - 1$ следует, что $2x = t + 1$, то есть $x = \frac{t + 1}{2}$.

Подставим эти выражения в исходный интеграл:

$I = \int \frac{t + 1}{2} \cdot t^7 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int (t + 1)t^7 dt = \frac{1}{4} \int (t^8 + t^7) dt$.

Теперь найдем интеграл от степенной функции:

$I = \frac{1}{4} \left( \frac{t^9}{9} + \frac{t^8}{8} \right) + C = \frac{t^9}{36} + \frac{t^8}{32} + C$.

Произведем обратную замену, подставив $t = 2x - 1$:

$I = \frac{(2x - 1)^9}{36} + \frac{(2x - 1)^8}{32} + C$.

Для упрощения ответа можно вынести за скобки общий множитель. Приведем дроби к общему знаменателю $288$:

$I = \frac{8(2x-1)^9 + 9(2x-1)^8}{288} + C = \frac{(2x-1)^8 (8(2x-1) + 9)}{288} + C$.

$I = \frac{(2x - 1)^8 (16x - 8 + 9)}{288} + C = \frac{(2x - 1)^8(16x + 1)}{288} + C$.

Ответ: $\frac{(2x - 1)^8(16x + 1)}{288} + C$.

2) Для нахождения интеграла $I = \int x \cdot (3x + 1)^8 dx$ также воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 3x + 1$. Тогда $dt = (3x + 1)' dx = 3 dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$.

Выразим $x$ через $t$: из $t = 3x + 1$ следует, что $3x = t - 1$, то есть $x = \frac{t - 1}{3}$.

Подставим эти выражения в исходный интеграл:

$I = \int \frac{t - 1}{3} \cdot t^8 \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{9} \int (t - 1)t^8 dt = \frac{1}{9} \int (t^9 - t^8) dt$.

Найдем интеграл от степенной функции:

$I = \frac{1}{9} \left( \frac{t^{10}}{10} - \frac{t^9}{9} \right) + C = \frac{t^{10}}{90} - \frac{t^9}{81} + C$.

Произведем обратную замену, подставив $t = 3x + 1$:

$I = \frac{(3x + 1)^{10}}{90} - \frac{(3x + 1)^9}{81} + C$.

Для упрощения ответа приведем дроби к общему знаменателю $810$:

$I = \frac{9(3x+1)^{10} - 10(3x+1)^9}{810} + C = \frac{(3x+1)^9 (9(3x+1) - 10)}{810} + C$.

$I = \frac{(3x + 1)^9 (27x + 9 - 10)}{810} + C = \frac{(3x + 1)^9(27x - 1)}{810} + C$.

Ответ: $\frac{(3x + 1)^9(27x - 1)}{810} + C$.