Номер 2.3, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.3. 1) $\int x \cdot \cos x \, dx$;

2) $\int 2x \cdot \sin x \, dx$.

1) Для нахождения неопределенного интеграла $\int x \cdot \cos x \,dx$ применяется метод интегрирования по частям. Формула этого метода: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

В подынтегральном выражении $x \cdot \cos x$ выберем множители для $u$ и $dv$:

Пусть $u = x$, тогда его дифференциал $du = dx$.

Пусть $dv = \cos x \,dx$, тогда, интегрируя, находим $v = \int \cos x \,dx = \sin x$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу интегрирования по частям:

$\int x \cdot \cos x \,dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \,dx$

Оставшийся интеграл $\int \sin x \,dx$ является табличным:

$\int \sin x \,dx = -\cos x$

Подставим его значение в наше выражение и добавим константу интегрирования $C$:

$\int x \cdot \cos x \,dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$

Ответ: $x \sin x + \cos x + C$

2) Для решения интеграла $\int 2x \cdot \sin x \,dx$ сначала вынесем константу 2 за знак интеграла:

$\int 2x \cdot \sin x \,dx = 2 \int x \cdot \sin x \,dx$

К интегралу $\int x \cdot \sin x \,dx$ применим метод интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Выберем $u$ и $dv$:

Пусть $u = x$, тогда $du = dx$.

Пусть $dv = \sin x \,dx$, тогда $v = \int \sin x \,dx = -\cos x$.

Подставим эти значения в формулу:

$\int x \cdot \sin x \,dx = x \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \,dx = -x \cos x + \int \cos x \,dx$

Интеграл от косинуса является табличным:

$\int \cos x \,dx = \sin x$

Таким образом, получаем:

$\int x \cdot \sin x \,dx = -x \cos x + \sin x$

Теперь вернемся к исходному интегралу, умножив полученный результат на 2 и добавив константу интегрирования $C$:

$\int 2x \cdot \sin x \,dx = 2(-x \cos x + \sin x) + C = -2x \cos x + 2 \sin x + C$

Ответ: $-2x \cos x + 2 \sin x + C$