Номер 2.7, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.7.1) $\int x^2 \cos 4x dx$;

2) $\int x \cos(x+2) dx$;

3) $\int (x^2 - 3x)\sin 2x dx$;

1) Для вычисления интеграла $ \int x^2 \cos(4x) dx $ мы будем использовать метод интегрирования по частям дважды. Формула интегрирования по частям: $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

Первое применение:

Пусть $ u = x^2 $ и $ dv = \cos(4x) dx $.

Тогда $ du = 2x \, dx $ и $ v = \int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x) $.

Подставляем в формулу:

$ \int x^2 \cos(4x) dx = x^2 \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) - \int \frac{1}{4}\sin(4x) \cdot 2x \, dx = \frac{1}{4}x^2\sin(4x) - \frac{1}{2}\int x\sin(4x) dx $.

Второе применение для интеграла $ \int x\sin(4x) dx $:Пусть $ u_1 = x $ и $ dv_1 = \sin(4x) dx $.

Тогда $ du_1 = dx $ и $ v_1 = \int \sin(4x) dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) $.

Подставляем в формулу:

$ \int x\sin(4x) dx = x \cdot (-\frac{1}{4}\cos(4x)) - \int (-\frac{1}{4}\cos(4x)) dx = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{4}\int\cos(4x) dx = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{16}\sin(4x) $.

Теперь подставим результат второго интегрирования в первое выражение:

$ \int x^2 \cos(4x) dx = \frac{1}{4}x^2\sin(4x) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{16}\sin(4x)\right) + C = \frac{1}{4}x^2\sin(4x) + \frac{1}{8}x\cos(4x) - \frac{1}{32}\sin(4x) + C $.

Ответ: $ \frac{1}{4}x^2\sin(4x) + \frac{1}{8}x\cos(4x) - \frac{1}{32}\sin(4x) + C $

2) Для вычисления интеграла $ \int x \cos(x+2) dx $ применим метод интегрирования по частям $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

Пусть $ u = x $ и $ dv = \cos(x+2) dx $.

Тогда $ du = dx $ и $ v = \int \cos(x+2) dx = \sin(x+2) $.

Подставляем в формулу:

$ \int x \cos(x+2) dx = x \sin(x+2) - \int \sin(x+2) dx $.

Вычисляем оставшийся интеграл:

$ \int \sin(x+2) dx = -\cos(x+2) $.

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $ C $:

$ x \sin(x+2) - (-\cos(x+2)) + C = x\sin(x+2) + \cos(x+2) + C $.

Ответ: $ x\sin(x+2) + \cos(x+2) + C $

3) Для вычисления интеграла $ \int (x^2 - 3x)\sin(2x) dx $ будем использовать метод интегрирования по частям $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ дважды.

Первое применение:

Пусть $ u = x^2 - 3x $ и $ dv = \sin(2x) dx $.

Тогда $ du = (2x - 3) dx $ и $ v = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) $.

Подставляем в формулу:

$ \int (x^2 - 3x)\sin(2x) dx = (x^2 - 3x)(-\frac{1}{2}\cos(2x)) - \int (-\frac{1}{2}\cos(2x))(2x-3) dx = -\frac{1}{2}(x^2 - 3x)\cos(2x) + \frac{1}{2}\int (2x-3)\cos(2x) dx $.

Второе применение для интеграла $ \int (2x-3)\cos(2x) dx $:

Пусть $ u_1 = 2x - 3 $ и $ dv_1 = \cos(2x) dx $.

Тогда $ du_1 = 2 dx $ и $ v_1 = \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

Подставляем в формулу:

$ \int (2x-3)\cos(2x) dx = (2x-3)(\frac{1}{2}\sin(2x)) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) \cdot 2 dx = \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) - \int \sin(2x) dx = \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) $.

Теперь подставим результат второго интегрирования в первое выражение:

$ \int (x^2 - 3x)\sin(2x) dx = -\frac{1}{2}(x^2 - 3x)\cos(2x) + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) \right) + C $.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$ = (-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x)\cos(2x) + (\frac{1}{2}x - \frac{3}{4})\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C $

$ = (-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4})\cos(2x) + (\frac{1}{2}x - \frac{3}{4})\sin(2x) + C $.

Ответ: $ \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{3x}{2} + \frac{1}{4}\right)\cos(2x) + \left(\frac{x}{2} - \frac{3}{4}\right)\sin(2x) + C $