Номер 2.9, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.9. 1) $ \int x \cdot \sin^2 x dx; $

2) $ \int x \cdot \cos^2 x dx. $

1) ∫ x · sin²x dx

Для решения данного интеграла мы используем тригонометрическую формулу понижения степени для синуса: $sin²x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.

Подставим эту формулу в исходный интеграл:

$∫ x · sin²x dx = ∫ x · \frac{1 - cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} ∫ (x - x · cos(2x)) dx$

Разобьем интеграл на два:

$\frac{1}{2} ∫ (x - x · cos(2x)) dx = \frac{1}{2} (∫ x dx - ∫ x · cos(2x) dx)$

Первый интеграл является табличным: $∫ x dx = \frac{x²}{2}$.

Второй интеграл $∫ x · cos(2x) dx$ решим методом интегрирования по частям по формуле $∫ u dv = uv - ∫ v du$.

Пусть $u = x$, тогда $du = dx$.

Пусть $dv = cos(2x) dx$, тогда $v = ∫ cos(2x) dx = \frac{1}{2}sin(2x)$.

Применяем формулу интегрирования по частям:

$∫ x · cos(2x) dx = x · \frac{1}{2}sin(2x) - ∫ \frac{1}{2}sin(2x) dx = \frac{x}{2}sin(2x) - \frac{1}{2}∫ sin(2x) dx$

Оставшийся интеграл также табличный:

$\frac{x}{2}sin(2x) - \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}cos(2x)) = \frac{x}{2}sin(2x) + \frac{1}{4}cos(2x)$

Теперь соберем все части вместе:

$\frac{1}{2} (∫ x dx - ∫ x · cos(2x) dx) = \frac{1}{2} (\frac{x²}{2} - (\frac{x}{2}sin(2x) + \frac{1}{4}cos(2x))) + C$

Раскроем скобки и получим окончательный ответ:

$\frac{x²}{4} - \frac{x}{4}sin(2x) - \frac{1}{8}cos(2x) + C$

Ответ: $\frac{x²}{4} - \frac{x}{4}sin(2x) - \frac{1}{8}cos(2x) + C$

2) ∫ x · cos²x dx

Для решения этого интеграла мы используем тригонометрическую формулу понижения степени для косинуса: $cos²x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Подставим эту формулу в исходный интеграл:

$∫ x · cos²x dx = ∫ x · \frac{1 + cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} ∫ (x + x · cos(2x)) dx$

Разобьем интеграл на два:

$\frac{1}{2} ∫ (x + x · cos(2x)) dx = \frac{1}{2} (∫ x dx + ∫ x · cos(2x) dx)$

Первый интеграл является табличным: $∫ x dx = \frac{x²}{2}$.

Второй интеграл $∫ x · cos(2x) dx$ мы уже решили в предыдущем пункте методом интегрирования по частям:

$∫ x · cos(2x) dx = \frac{x}{2}sin(2x) + \frac{1}{4}cos(2x)$

Теперь соберем все части вместе:

$\frac{1}{2} (∫ x dx + ∫ x · cos(2x) dx) = \frac{1}{2} (\frac{x²}{2} + (\frac{x}{2}sin(2x) + \frac{1}{4}cos(2x))) + C$

Раскроем скобки и получим окончательный ответ:

$\frac{x²}{4} + \frac{x}{4}sin(2x) + \frac{1}{8}cos(2x) + C$

Ответ: $\frac{x²}{4} + \frac{x}{4}sin(2x) + \frac{1}{8}cos(2x) + C$