Номер 3.1, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (3.1–3.4):

3.1. 1) $y = x^2, x = 1, x = 2, y = 0;$

2) $y = x^2, y = 0, x = -1, x = 2;$

3) $y = 2x^2 - 1, y = 0, x = 1, x = 3;$

4) $y = 2x^2 + 1, y = 0, x = 2, x = 3.$

1)

Фигура ограничена параболой $y = x^2$, прямыми $x = 1$, $x = 2$ и осью абсцисс $y = 0$. Так как на отрезке $[1, 2]$ функция $y = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), площадь данной фигуры (криволинейной трапеции) можно вычислить с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_a^b f(x)dx$

В данном случае, $f(x) = x^2$, $a = 1$, $b = 2$.

Подставляем значения и вычисляем интеграл:

$S = \int_1^2 x^2 dx = \left. \frac{x^{2+1}}{2+1} \right|_1^2 = \left. \frac{x^3}{3} \right|_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$.

2)

Фигура ограничена параболой $y = x^2$, прямыми $x = -1$, $x = 2$ и осью абсцисс $y = 0$. На всем отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^2$ неотрицательна. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $y = x^2$ в пределах от $-1$ до $2$.

$S = \int_{-1}^2 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: $3$.

3)

Фигура ограничена параболой $y = 2x^2 - 1$, прямыми $x = 1$, $x = 3$ и осью абсцисс $y = 0$. Проверим знак функции $y = 2x^2 - 1$ на отрезке $[1, 3]$. Точки пересечения с осью $y=0$: $2x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. Обе точки не входят в отрезок $[1, 3]$. На данном отрезке функция $y = 2x^2 - 1$ положительна (например, при $x=1$, $y=2(1)^2 - 1 = 1 > 0$).

Следовательно, площадь фигуры можно вычислить как определенный интеграл:

$S = \int_1^3 (2x^2 - 1) dx = \left. \left(2\frac{x^3}{3} - x\right) \right|_1^3 = \left(2\frac{3^3}{3} - 3\right) - \left(2\frac{1^3}{3} - 1\right) = \left(2 \cdot 9 - 3\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right) = (18 - 3) - \left(-\frac{1}{3}\right) = 15 + \frac{1}{3} = \frac{45+1}{3} = \frac{46}{3}$

Ответ: $\frac{46}{3}$.

4)

Фигура ограничена параболой $y = 2x^2 + 1$, прямыми $x = 2$, $x = 3$ и осью абсцисс $y = 0$. Функция $y = 2x^2 + 1$ всегда положительна, так как $2x^2 \ge 0$, а значит $2x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, на отрезке $[2, 3]$ функция также положительна.

Вычисляем площадь с помощью определенного интеграла:

$S = \int_2^3 (2x^2 + 1) dx = \left. \left(2\frac{x^3}{3} + x\right) \right|_2^3 = \left(2\frac{3^3}{3} + 3\right) - \left(2\frac{2^3}{3} + 2\right) = \left(2 \cdot 9 + 3\right) - \left(2\frac{8}{3} + 2\right) = (18 + 3) - \left(\frac{16}{3} + \frac{6}{3}\right) = 21 - \frac{22}{3} = \frac{63-22}{3} = \frac{41}{3}$

Ответ: $\frac{41}{3}$.