Номер 3.5, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = 0;

2) графиком функции $y = \sin x$, прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = 0.

1)

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$

В данном случае фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = 0$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ принимает неотрицательные значения, то есть $\cos x \ge 0$. Следовательно, $|\cos x| = \cos x$ на этом отрезке.

Тогда площадь фигуры равна:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$.

$S = [\sin x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4})$

Подставляем значения синусов: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $S = \sqrt{2}$

2)

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$ и осью $y=0$.

Площадь вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$, где $f(x) = \sin x$, $a = -\frac{\pi}{4}$ и $b = \frac{\pi}{3}$.

На промежутке интегрирования $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \sin x$ меняет свой знак. Она пересекает ось абсцисс в точке $x=0$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, 0]$ функция неположительна, $\sin x \le 0$, поэтому $|\sin x| = -\sin x$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$ функция неотрицательна, $\sin x \ge 0$, поэтому $|\sin x| = \sin x$.

В связи с этим, для вычисления площади необходимо разбить интеграл на два:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} |\sin x| \,dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (-\sin x) \,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Первообразная для функции $-\sin x$ равна $\cos x$, а для функции $\sin x$ равна $-\cos x$.

Первый интеграл:

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{-\frac{\pi}{4}}^{0} = \cos(0) - \cos(-\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Второй интеграл:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cos(\frac{\pi}{3})) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:

$S = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $S = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$