Номер 3.3, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.3. 1) $y=x^2$, $y=0$, $x=2$;

2) $y=x^3$, $y=0$, $x=2$.

1) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$ и $x = 2$.

Фигура, площадь которой нужно найти, представляет собой криволинейную трапецию. Она ограничена сверху графиком функции $y = x^2$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), а по бокам — прямыми $x=0$ (точка пересечения кривых $y=x^2$ и $y=0$) и $x=2$.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Формула для площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, имеет вид:

$S = \int_a^b f(x) \, dx$

В данном случае, функция $f(x) = x^2$ является неотрицательной на отрезке $[0, 2]$. Пределами интегрирования являются $a=0$ и $b=2$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем интеграл:

$S = \int_0^2 x^2 \, dx$

Для вычисления определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

Таким образом, площадь искомой фигуры равна $\frac{8}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $y = 0$ и $x = 2$.

Эта задача решается аналогично предыдущей. Мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y = x^3$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), и находящейся в пределах от $x=0$ (точка пересечения $y=x^3$ и $y=0$) до $x=2$.

Функция $f(x) = x^3$ является непрерывной и неотрицательной на отрезке $[0, 2]$. Площадь вычисляется по той же формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \, dx$

Здесь $f(x) = x^3$, $a=0$ и $b=2$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_0^2 x^3 \, dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^3$ равна $F(x) = \frac{x^4}{4}$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left. \frac{x^4}{4} \right|_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4$.

Следовательно, площадь искомой фигуры равна 4 квадратным единицам.

Ответ: $4$.