Страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.3. 1) $y=x^2$, $y=0$, $x=2$;

2) $y=x^3$, $y=0$, $x=2$.

1) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$ и $x = 2$.

Фигура, площадь которой нужно найти, представляет собой криволинейную трапецию. Она ограничена сверху графиком функции $y = x^2$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), а по бокам — прямыми $x=0$ (точка пересечения кривых $y=x^2$ и $y=0$) и $x=2$.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Формула для площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, имеет вид:

$S = \int_a^b f(x) \, dx$

В данном случае, функция $f(x) = x^2$ является неотрицательной на отрезке $[0, 2]$. Пределами интегрирования являются $a=0$ и $b=2$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем интеграл:

$S = \int_0^2 x^2 \, dx$

Для вычисления определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

Таким образом, площадь искомой фигуры равна $\frac{8}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $y = 0$ и $x = 2$.

Эта задача решается аналогично предыдущей. Мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y = x^3$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), и находящейся в пределах от $x=0$ (точка пересечения $y=x^3$ и $y=0$) до $x=2$.

Функция $f(x) = x^3$ является непрерывной и неотрицательной на отрезке $[0, 2]$. Площадь вычисляется по той же формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \, dx$

Здесь $f(x) = x^3$, $a=0$ и $b=2$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_0^2 x^3 \, dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^3$ равна $F(x) = \frac{x^4}{4}$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left. \frac{x^4}{4} \right|_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4$.

Следовательно, площадь искомой фигуры равна 4 квадратным единицам.

Ответ: $4$.

3.4. 1) $y = 1 - x^2$, $y = 0$;

2) $y = -x^2 + 4$, $y = 0$;

3) $y = 3x - x^2$, $y = 0$;

4) $y = 6x - x^2$, $y = 0$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^2$ и $y = 0$, сначала найдем точки пересечения этих линий. Для этого приравняем их уравнения:

$1 - x^2 = 0$

$x^2 = 1$

$x_1 = -1$, $x_2 = 1$

Это будут пределы интегрирования. Фигура расположена над осью Ox, так как на интервале $(-1, 1)$ значение функции $y = 1 - x^2$ положительно (например, при $x=0$, $y=1$).

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от функции $y = 1 - x^2$ в пределах от -1 до 1:

$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для $1 - x^2$ равна $x - \frac{x^3}{3}$.

$S = \left(x - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{2}{3} - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4$ и $y = 0$. Сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения кривых:

$-x^2 + 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$

На интервале $(-2, 2)$ парабола $y = -x^2 + 4$ находится выше оси Ox (например, при $x=0$, $y=4 > 0$).

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx$

Найдем первообразную для функции $-x^2 + 4$: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4x$.

Вычислим интеграл:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} + 4x\right) \Big|_{-2}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + 4 \cdot (-2)\right) = \left(-\frac{8}{3} + 8\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 3x - x^2$ и $y = 0$. Определим точки пересечения, чтобы найти пределы интегрирования:

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 3$

На интервале $(0, 3)$ парабола $y = 3x - x^2$ находится выше оси Ox (например, при $x=1$, $y=3-1=2 > 0$).

Площадь $S$ вычисляется как интеграл:

$S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$

Первообразная для $3x - x^2$ равна $\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$.

Вычислим интеграл:

$S = \left(\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{3} = \left(\frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - (0) = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 6x - x^2$ и $y = 0$. Определим точки пересечения для нахождения пределов интегрирования:

$6x - x^2 = 0$

$x(6 - x) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 6$

На интервале $(0, 6)$ парабола $y = 6x - x^2$ находится выше оси Ox (например, при $x=1$, $y=6-1=5 > 0$).

Площадь $S$ вычисляется как интеграл:

$S = \int_{0}^{6} (6x - x^2) dx$

Первообразная для $6x - x^2$ равна $3x^2 - \frac{x^3}{3}$.

Вычислим интеграл:

$S = \left(3x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{6} = \left(3 \cdot 6^2 - \frac{6^3}{3}\right) - (0) = 3 \cdot 36 - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36$.

Ответ: 36

3.5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = 0;

2) графиком функции $y = \sin x$, прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = 0.

1)

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$

В данном случае фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = 0$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ принимает неотрицательные значения, то есть $\cos x \ge 0$. Следовательно, $|\cos x| = \cos x$ на этом отрезке.

Тогда площадь фигуры равна:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$.

$S = [\sin x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4})$

Подставляем значения синусов: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $S = \sqrt{2}$

2)

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$ и осью $y=0$.

Площадь вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$, где $f(x) = \sin x$, $a = -\frac{\pi}{4}$ и $b = \frac{\pi}{3}$.

На промежутке интегрирования $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \sin x$ меняет свой знак. Она пересекает ось абсцисс в точке $x=0$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, 0]$ функция неположительна, $\sin x \le 0$, поэтому $|\sin x| = -\sin x$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$ функция неотрицательна, $\sin x \ge 0$, поэтому $|\sin x| = \sin x$.

В связи с этим, для вычисления площади необходимо разбить интеграл на два:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} |\sin x| \,dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (-\sin x) \,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Первообразная для функции $-\sin x$ равна $\cos x$, а для функции $\sin x$ равна $-\cos x$.

Первый интеграл:

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{-\frac{\pi}{4}}^{0} = \cos(0) - \cos(-\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Второй интеграл:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cos(\frac{\pi}{3})) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:

$S = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $S = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

3.6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми:

1) $x = \frac{\pi}{18}$, $x = \frac{\pi}{12}$, графиком функции $y = \sin6x$ и осью абсцисс;

2) $y = 0$, $x = \frac{\pi}{24}$, $x = \frac{\pi}{12}$, графиком функции $y = \cos4x.$

1) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_a^b |f(x)|dx$. В данном случае фигура ограничена прямыми $x = \frac{\pi}{18}$, $x = \frac{\pi}{12}$, графиком функции $y = \sin(6x)$ и осью абсцисс. Таким образом, $f(x) = \sin(6x)$, $a = \frac{\pi}{18}$ и $b = \frac{\pi}{12}$.

Сначала определим знак функции $y=\sin(6x)$ на отрезке $[\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{12}]$.

Когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{18}$ до $\frac{\pi}{12}$, аргумент $6x$ изменяется от $6 \cdot \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$ до $6 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$.

На интервале $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ функция синус принимает неотрицательные значения, поэтому $|\sin(6x)| = \sin(6x)$ на всем отрезке интегрирования.

Теперь мы можем вычислить площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(6x) dx$

Первообразная для функции $\sin(6x)$ равна $-\frac{1}{6}\cos(6x)$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = [-\frac{1}{6}\cos(6x)]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = -\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{12}) - (-\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{18})) = -\frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{3})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$S = -\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Фигура ограничена прямыми $y=0$ (ось абсцисс), $x = -\frac{\pi}{24}$, $x = \frac{\pi}{12}$ и графиком функции $y = \cos(4x)$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b |f(x)|dx$, где $f(x) = \cos(4x)$, $a = -\frac{\pi}{24}$ и $b = \frac{\pi}{12}$.

Определим знак функции $y=\cos(4x)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{12}]$.

Когда $x$ изменяется от $-\frac{\pi}{24}$ до $\frac{\pi}{12}$, аргумент $4x$ изменяется от $4 \cdot (-\frac{\pi}{24}) = -\frac{\pi}{6}$ до $4 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

На интервале $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$, который полностью лежит внутри интервала $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, функция косинус принимает неотрицательные значения. Следовательно, $|\cos(4x)| = \cos(4x)$ на всем отрезке интегрирования.

Вычислим площадь:

$S = \int_{-\frac{\pi}{24}}^{\frac{\pi}{12}} \cos(4x) dx$

Первообразная для функции $\cos(4x)$ равна $\frac{1}{4}\sin(4x)$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\frac{1}{4}\sin(4x)]_{-\frac{\pi}{24}}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{4}\sin(4 \cdot \frac{\pi}{12}) - \frac{1}{4}\sin(4 \cdot (-\frac{\pi}{24})) = \frac{1}{4}\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}\sin(-\frac{\pi}{6})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{3}+1}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}+1}{8}$.

3.7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = -x^3$, $x = -3$, $y = 0$;

2) $y = -2x^3$, $x = -2$, $y = 0$;

3) $y = 1 - x^3$, $x = 0$, $y = 0$;

4) $y = 1 - x^2$, $y = 0$;

5) $y = -x^2 + 2x + 3$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

6) $y = -x^2 - 2x + 2$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 0$;

7) $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$, $x = 4$;

8) $y = -\frac{3}{x^3}$, $y = -3x$, $x = -4$.

1) Фигура ограничена графиком функции $y = -x^3$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальной прямой $x=-3$. Для нахождения площади необходимо определить пределы интегрирования. Одна граница задана условием $x = -3$. Вторую границу найдем из точки пересечения графика функции $y = -x^3$ с осью $y=0$: $-x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$. Таким образом, пределы интегрирования: от $a = -3$ до $b = 0$. На интервале $[-3, 0]$ функция $y = -x^3$ является неотрицательной ($y \ge 0$), так как для любого отрицательного $x$, $x^3$ будет отрицательным, а $-x^3$ — положительным. Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от функции: $S = \int_{-3}^{0} (-x^3) dx = -\left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-3}^{0} = -\left( \frac{0^4}{4} - \frac{(-3)^4}{4} \right) = -\left( 0 - \frac{81}{4} \right) = \frac{81}{4} = 20.25$.

Ответ: $20.25$.

2) Фигура ограничена линиями $y = -2x^3$, $x = -2$ и $y = 0$. Пределы интегрирования определяются прямой $x=-2$ и точкой пересечения графика $y = -2x^3$ с осью $y=0$: $-2x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$. Интегрируем по отрезку $[-2, 0]$. На этом отрезке функция $y = -2x^3$ неотрицательна ($y \ge 0$). Площадь фигуры равна: $S = \int_{-2}^{0} (-2x^3) dx = -2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} = -2 \left( \frac{0^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4} \right) = -2 \left( 0 - \frac{16}{4} \right) = -2(-4) = 8$.

Ответ: $8$.

3) Фигура ограничена линиями $y = 1 - x^3$, $x = 0$ и $y = 0$. Пределы интегрирования: один предел задан ($x=0$), второй найдем из пересечения $y=1-x^3$ с $y=0$: $1 - x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$. Интегрируем по отрезку $[0, 1]$. На этом отрезке функция $y = 1 - x^3$ неотрицательна ($y \ge 0$), так как при $x \in [0, 1]$, $x^3 \le 1$. Площадь фигуры равна: $S = \int_{0}^{1} (1 - x^3) dx = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 0 - \frac{0^4}{4} \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) Фигура ограничена параболой $y = 1 - x^2$ и осью абсцисс $y=0$. Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $1 - x^2 = 0$: $x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. Интегрируем по отрезку $[-1, 1]$. На этом отрезке парабола $y = 1 - x^2$ находится выше оси $x$, то есть $y \ge 0$. Площадь фигуры равна: $S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 + 2x + 3$, осью $y=0$ и прямыми $x=0$, $x=2$. Пределы интегрирования заданы: от $a=0$ до $b=2$. Проверим знак функции на отрезке $[0, 2]$. Найдем корни уравнения $-x^2 + 2x + 3 = 0$: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция положительна между корнями, то есть на интервале $(-1, 3)$. Отрезок $[0, 2]$ полностью входит в этот интервал, значит $y \ge 0$ на $[0, 2]$. Площадь фигуры равна: $S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x + 3) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + 2^2 + 3 \cdot 2 \right) - 0 = -\frac{8}{3} + 4 + 6 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $\frac{22}{3}$.

6) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 - 2x + 2$, осью $y=0$ и прямыми $x=-1$, $x=0$. Пределы интегрирования заданы: от $a=-1$ до $b=0$. Проверим знак функции на отрезке $[-1, 0]$. Найдем корни уравнения $-x^2 - 2x + 2 = 0$: $x^2 + 2x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4(1)(-2) = 12$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Ветви параболы направлены вниз, функция положительна на интервале $(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})$. Отрезок $[-1, 0]$ лежит внутри этого интервала, так как $-1-\sqrt{3} \approx -2.73$ и $-1+\sqrt{3} \approx 0.73$. Следовательно, $y \ge 0$ на $[-1, 0]$. Площадь фигуры равна: $S = \int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x + 2) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 2(-1) \right) = -\left( \frac{1}{3} - 1 - 2 \right) = -\left( \frac{1}{3} - 3 \right) = - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

7) Фигура ограничена линиями $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$ и $x = 4$. Найдем точку пересечения кривых $y = \frac{16}{x^2}$ и $y = 2x$: $\frac{16}{x^2} = 2x \Rightarrow 16 = 2x^3 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$. Фигура ограничена вертикальными прямыми $x=2$ и $x=4$. На отрезке $[2, 4]$ определим, какая из функций больше. Возьмем пробную точку $x=3$: $y_1 = \frac{16}{3^2} = \frac{16}{9}$, $y_2 = 2 \cdot 3 = 6$. Так как $6 > \frac{16}{9}$, то на отрезке $[2, 4]$ график $y=2x$ лежит выше графика $y = \frac{16}{x^2}$. Площадь вычисляется как интеграл разности функций: $S = \int_{2}^{4} \left( 2x - \frac{16}{x^2} \right) dx = \left[ x^2 - 16 \left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) \right]_{2}^{4} = \left[ x^2 + \frac{16}{x} \right]_{2}^{4}$. $S = \left( 4^2 + \frac{16}{4} \right) - \left( 2^2 + \frac{16}{2} \right) = (16+4) - (4+8) = 20 - 12 = 8$.

Ответ: $8$.

8) Фигура ограничена линиями $y = -\frac{3}{x^3}$, $y = -3x$ и $x = -4$. Найдем точки пересечения кривых $y = -\frac{3}{x^3}$ и $y = -3x$: $-\frac{3}{x^3} = -3x \Rightarrow \frac{1}{x^3} = x \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Учитывая прямую $x=-4$, нас интересует область в левой полуплоскости. Пределы интегрирования: от $x=-4$ до $x=-1$. На отрезке $[-4, -1]$ сравним функции. Возьмем пробную точку $x=-2$: $y_1 = -\frac{3}{(-2)^3} = \frac{3}{8}$, $y_2 = -3(-2) = 6$. Так как $6 > \frac{3}{8}$, то на отрезке $[-4, -1]$ график $y=-3x$ лежит выше графика $y = -\frac{3}{x^3}$. Площадь фигуры равна интегралу разности: $S = \int_{-4}^{-1} \left( -3x - \left(-\frac{3}{x^3}\right) \right) dx = \int_{-4}^{-1} \left( -3x + 3x^{-3} \right) dx$. $S = \left[ -3\frac{x^2}{2} + 3\frac{x^{-2}}{-2} \right]_{-4}^{-1} = \left[ -\frac{3x^2}{2} - \frac{3}{2x^2} \right]_{-4}^{-1}$. $S = \left( -\frac{3(-1)^2}{2} - \frac{3}{2(-1)^2} \right) - \left( -\frac{3(-4)^2}{2} - \frac{3}{2(-4)^2} \right) = \left( -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right) - \left( -\frac{3 \cdot 16}{2} - \frac{3}{2 \cdot 16} \right)$. $S = -3 - \left( -24 - \frac{3}{32} \right) = -3 + 24 + \frac{3}{32} = 21 + \frac{3}{32} = \frac{21 \cdot 32 + 3}{32} = \frac{672+3}{32} = \frac{675}{32}$.

Ответ: $\frac{675}{32}$.

3.8. Если $0 < x < \frac{\pi}{6}$, то чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin6x$ и $y = 0$?

Площадь фигуры, ограниченной кривой $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, где $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае фигура ограничена линиями $y = \sin(6x)$ и $y=0$. Условие $0 < x < \frac{\pi}{6}$ задает пределы интегрирования: от $a=0$ до $b=\frac{\pi}{6}$.

Проверим, что на интервале $(0, \frac{\pi}{6})$ функция $y = \sin(6x)$ является неотрицательной. Если $x \in (0, \frac{\pi}{6})$, то аргумент синуса $6x$ находится в интервале $(0, \pi)$. На этом интервале синус принимает положительные значения, то есть $\sin(6x) > 0$. Следовательно, мы можем напрямую применить формулу для площади.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin(6x) \,dx$

Найдем первообразную для функции $\sin(6x)$. Используя правило интегрирования, получаем:

$\int \sin(6x) \,dx = -\frac{1}{6}\cos(6x) + C$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$S = \left. -\frac{1}{6}\cos(6x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \left(-\frac{1}{6}\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{1}{6}\cos(6 \cdot 0)\right)$

Подставим значения: $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(0) = 1$.

$S = \left(-\frac{1}{6} \cdot (-1)\right) - \left(-\frac{1}{6} \cdot 1\right) = \frac{1}{6} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3.9. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, соответственно, на отрезках $[a; b]$ и $[b; c]$ прямыми $x = a, x = c$ и осью Ox:

1) $f(x) = x^2 + 2x + 3, [-2; 1]$ и $g(x) = x^2 - 2x + 7, [1; 2];$

2) $f(x) = -x^2 - 4x - 1, [-3; -1]$ и $g(x) = -x^2 + 2x + 5, [-1; 1].$

1)

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=f(x)=x^2+2x+3$ на отрезке $[-2; 1]$ и $y=g(x)=x^2-2x+7$ на отрезке $[1; 2]$, а также прямыми $x=-2$, $x=2$ и осью $Ox$, вычисляется как сумма площадей двух криволинейных трапеций. Общая площадь $S$ равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} g(x) dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 7) dx$

Сначала проверим, что функции неотрицательны на своих интервалах, так как площадь ограничена осью $Ox$.

Для функции $f(x) = x^2 + 2x + 3$: это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = - \frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Значение в вершине: $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Это минимальное значение функции. Так как $f_{min} = 2 > 0$, функция $f(x)$ положительна на всем отрезке $[-2; 1]$.

Для функции $g(x) = x^2 - 2x + 7$: это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Значение в вершине: $g(1) = 1^2 - 2(1) + 7 = 1 - 2 + 7 = 6$. Это минимальное значение функции. Так как $g_{min} = 6 > 0$, функция $g(x)$ положительна на всем отрезке $[1; 2]$.

Поскольку обе функции положительны, можно вычислять интегралы.

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 3 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3(-2) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} + 1 + 3 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 4 - 6 \right) = \left( \frac{1}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right) = \frac{13}{3} - \left(-\frac{14}{3}\right) = \frac{13}{3} + \frac{14}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 7) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 7x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 7 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 7 \cdot 1 \right)$

$= \left( \frac{8}{3} - 4 + 14 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 7 \right) = \left( \frac{8}{3} + 10 \right) - \left( \frac{1}{3} + 6 \right) = \frac{38}{3} - \frac{19}{3} = \frac{19}{3}$.

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = S_1 + S_2 = 9 + \frac{19}{3} = \frac{27}{3} + \frac{19}{3} = \frac{46}{3}$.

Ответ: $S = \frac{46}{3}$.

2)

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=f(x)=-x^2-4x-1$ на отрезке $[-3; -1]$ и $y=g(x)=-x^2+2x+5$ на отрезке $[-1; 1]$, а также прямыми $x=-3$, $x=1$ и осью $Ox$, вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) dx + \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x + 5) dx$

Проверим знак функций на заданных интервалах.

Для функции $f(x) = -x^2 - 4x - 1$: это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $x_v = - \frac{-4}{2(-1)} = -2$. Значение в вершине: $f(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3$. Это максимальное значение функции. На концах отрезка $[-3; -1]$ значения функции равны $f(-3) = -(-3)^2-4(-3)-1 = 2$ и $f(-1)=-(-1)^2-4(-1)-1=2$. Минимальное значение на отрезке равно 2, следовательно, $f(x) > 0$ на отрезке $[-3; -1]$.

Для функции $g(x) = -x^2 + 2x + 5$: это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $x_v = - \frac{2}{2(-1)} = 1$. Вершина является правым концом отрезка $[-1; 1]$. Значение в этой точке: $g(1) = -1^2 + 2(1) + 5 = 6$. На левом конце отрезка $g(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -1 - 2 + 5 = 2$. На отрезке $[-1; 1]$ функция возрастает от 2 до 6, значит, $g(x) > 0$ на этом отрезке.

Обе функции положительны, вычисляем интегралы.

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 - x \right]_{-3}^{-1}$

$= \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - (-1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 - (-3) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} - 2 + 1 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 + 3 \right) = \left( -\frac{2}{3} \right) - (9 - 18 + 3) = -\frac{2}{3} - (-6) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x + 5) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right]_{-1}^{1}$

$= \left( -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 5 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 5(-1) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} + 1 + 5 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 5 \right) = \left( 6 - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - 4 \right) = \frac{17}{3} - \left( -\frac{11}{3} \right) = \frac{17+11}{3} = \frac{28}{3}$.

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + \frac{28}{3} = \frac{44}{3}$.

Ответ: $S = \frac{44}{3}$.

3.10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции:

1) $y = -x^2 + x + 6;$

2) $y = -x^2 + 2x + 3;$

3) $y = -2(x - 1)^2 + 8;$

4) $y = -2(x - 3)^2 + 2.$

1) Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $y = -x^2 + x + 6$, необходимо найти точки пересечения графика с осью абсцисс и вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем пределы интегрирования, для этого приравняем функцию к нулю:

$-x^2 + x + 6 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз, и на интервале $(-2, 3)$ функция принимает положительные значения. Следовательно, искомая площадь $S$ равна:

$S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (-x^2 + x + 6) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(x_2) - F(x_1)$:

$F(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3 = -9 + \frac{9}{2} + 18 = 9 + 4.5 = 13.5 = \frac{27}{2}$

$F(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6 \cdot (-2) = -\frac{-8}{3} + \frac{4}{2} - 12 = \frac{8}{3} + 2 - 12 = \frac{8}{3} - 10 = \frac{8 - 30}{3} = -\frac{22}{3}$

$S = F(3) - F(-2) = \frac{27}{2} - (-\frac{22}{3}) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

2) Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $y = -x^2 + 2x + 3$, найдем точки пересечения графика с осью абсцисс.

Приравняем функцию к нулю:

$-x^2 + 2x + 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Это пределы интегрирования.

Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-1, 3)$ функция $y(x) > 0$. Площадь $S$ вычисляется как:

$S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (-x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$F(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 = -9 + 9 + 9 = 9$

$F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$

$S = F(3) - F(-1) = 9 - (-\frac{5}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

3) Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $y = -2(x - 1)^2 + 8$, найдем точки пересечения графика с осью.

Решим уравнение $y=0$:

$-2(x - 1)^2 + 8 = 0$

$2(x - 1)^2 = 8$

$(x - 1)^2 = 4$

$x - 1 = \pm 2$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1 - 2 = -1$ и $x_2 = 1 + 2 = 3$.

Это парабола с вершиной в точке $(1, 8)$ и ветвями, направленными вниз. На интервале $(-1, 3)$ функция положительна.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-1}^{3} (-2(x - 1)^2 + 8) dx = \int_{-1}^{3} (-2(x^2 - 2x + 1) + 8) dx = \int_{-1}^{3} (-2x^2 + 4x - 2 + 8) dx = \int_{-1}^{3} (-2x^2 + 4x + 6) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (-2x^2 + 4x + 6) dx = -2\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + 6x = -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 6x$

Вычислим интеграл:

$F(3) = -\frac{2 \cdot 3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 = -18 + 18 + 18 = 18$

$F(-1) = -\frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) = \frac{2}{3} + 2 - 6 = \frac{2}{3} - 4 = -\frac{10}{3}$

$S = F(3) - F(-1) = 18 - (-\frac{10}{3}) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54 + 10}{3} = \frac{64}{3}$

Ответ: $\frac{64}{3}$

4) Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $y = -2(x - 3)^2 + 2$, найдем точки пересечения графика с осью абсцисс.

Решим уравнение $y=0$:

$-2(x - 3)^2 + 2 = 0$

$2(x - 3)^2 = 2$

$(x - 3)^2 = 1$

$x - 3 = \pm 1$

Получаем два корня: $x_1 = 3 - 1 = 2$ и $x_2 = 3 + 1 = 4$.

Это парабола с вершиной в точке $(3, 2)$ и ветвями, направленными вниз. На интервале $(2, 4)$ функция положительна.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{2}^{4} (-2(x - 3)^2 + 2) dx = \int_{2}^{4} (-2(x^2 - 6x + 9) + 2) dx = \int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 18 + 2) dx = \int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 16) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (-2x^2 + 12x - 16) dx = -2\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} - 16x = -\frac{2x^3}{3} + 6x^2 - 16x$

Вычислим интеграл:

$F(4) = -\frac{2 \cdot 4^3}{3} + 6 \cdot 4^2 - 16 \cdot 4 = -\frac{128}{3} + 96 - 64 = -\frac{128}{3} + 32 = \frac{-128 + 96}{3} = -\frac{32}{3}$

$F(2) = -\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 6 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2 = -\frac{16}{3} + 24 - 32 = -\frac{16}{3} - 8 = \frac{-16 - 24}{3} = -\frac{40}{3}$

$S = F(4) - F(2) = -\frac{32}{3} - (-\frac{40}{3}) = -\frac{32}{3} + \frac{40}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

3.11. При каком значении d площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos 5x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{30}$ и $x = d$ $(d < \frac{\pi}{30})$, будет равна 0,2?

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ (где $a<b$), вычисляется с помощью определенного интеграла $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Эта формула верна, если функция $f(x)$ неотрицательна ($f(x) \geq 0$) на всем отрезке $[a, b]$.

В нашем случае фигура ограничена линиями $y = \cos(5x)$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{30}$ и $x = d$. По условию задачи $d < \frac{\pi}{30}$, поэтому пределы интегрирования — от $d$ до $\frac{\pi}{30}$. Площадь $S$ должна быть равна 0,2.

Функция $y = \cos(5x)$ является неотрицательной на отрезке $[-\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10}]$, так как при изменении $x$ в этих пределах аргумент $5x$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Верхний предел интегрирования $x = \frac{\pi}{30}$ находится внутри этого отрезка. Чтобы формула для площади была применима без разбиения интеграла, необходимо, чтобы и нижний предел $d$ также находился в этом отрезке, то есть должно выполняться условие $d \geq -\frac{\pi}{10}$.

Составим уравнение, приравняв интеграл от функции к заданной площади:

$S = \int_d^{\frac{\pi}{30}} \cos(5x) \,dx = 0,2$

Сначала найдем первообразную для функции $\cos(5x)$:

$\int \cos(5x) \,dx = \frac{1}{5}\sin(5x) + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_d^{\frac{\pi}{30}} \cos(5x) \,dx = \left[ \frac{1}{5}\sin(5x) \right]_d^{\frac{\pi}{30}} = \frac{1}{5}\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{30}\right) - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{5}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Приравняем это выражение к заданной площади 0,2 (что равно $\frac{1}{5}$):

$\frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{5}$

Выразим $\sin(5d)$ из этого уравнения:

$\frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10} - \frac{2}{10} = -\frac{1}{10}$

$\sin(5d) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

Теперь решим тригонометрическое уравнение $\sin(5d) = -\frac{1}{2}$.

Общие решения этого уравнения:

$5d = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $5d = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Отсюда находим возможные значения для $d$:

$d = -\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5}$ или $d = \frac{7\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5}$

Нам нужно выбрать значение $d$, которое удовлетворяет условиям задачи: $d < \frac{\pi}{30}$ и $d \geq -\frac{\pi}{10} = -\frac{3\pi}{30}$.

Рассмотрим первую серию решений при $k=0$:

$d = -\frac{\pi}{30}$. Проверим условия: $-\frac{3\pi}{30} \leq -\frac{\pi}{30} < \frac{\pi}{30}$. Оба условия выполнены. Это кандидат в решения.

Рассмотрим вторую серию решений при $k=-1$:

$d = \frac{7\pi}{30} - \frac{2\pi}{5} = \frac{7\pi}{30} - \frac{12\pi}{30} = -\frac{5\pi}{30} = -\frac{\pi}{6}$. Условие $d < \frac{\pi}{30}$ выполнено, но условие $d \geq -\frac{3\pi}{30}$ не выполнено, так как $-\frac{5\pi}{30} < -\frac{3\pi}{30}$. Это значение $d$ не подходит, так как на части интервала интегрирования $[-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{10}]$ функция $\cos(5x)$ была бы отрицательной, и расчет площади был бы другим.

Другие значения $k$ дают значения $d$, которые выходят за рамки требуемого диапазона.

Таким образом, единственное подходящее значение — это $d = -\frac{\pi}{30}$.

Ответ: $d = -\frac{\pi}{30}$