Страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите неопределенный интеграл (2.1.–2.4.):

2.1. 1) $\int x \cdot (1 + x)^4 dx;$

2) $\int (x - 3)^5 dx.$

2.1. 1)

Для нахождения интеграла $ \int x(1+x)^4 dx $ воспользуемся методом замены переменной. Этот метод удобен, когда подынтегральное выражение можно упростить, введя новую переменную.

Введем замену: пусть $ t = 1 + x $. Из этого выражения найдем $ x $, он будет равен $ x = t - 1 $. Далее найдем дифференциал: $ dt = d(1+x) = dx $.

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $dx$ в исходный интеграл:$ \int (t - 1) t^4 dt $

Раскроем скобки в подынтегральном выражении, умножив $ t^4 $ на каждый член в скобках:$ \int (t^5 - t^4) dt $

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на два отдельных интеграла:$ \int t^5 dt - \int t^4 dt $

Теперь найдем каждый интеграл по формуле для степенной функции $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $:$ \frac{t^{5+1}}{5+1} - \frac{t^{4+1}}{4+1} + C = \frac{t^6}{6} - \frac{t^5}{5} + C $

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Последний шаг — выполнить обратную замену, подставив вместо $t$ его выражение через $x$, то есть $ t = 1 + x $:$ \frac{(1+x)^6}{6} - \frac{(1+x)^5}{5} + C $

Ответ: $ \frac{(1+x)^6}{6} - \frac{(1+x)^5}{5} + C $

2)

Для нахождения интеграла $ \int (x-3)^5 dx $ также применим метод замены переменной.

Введем замену: пусть $ t = x - 3 $. Тогда дифференциал $ dt = d(x-3) = dx $.

Подставим новую переменную и ее дифференциал в интеграл:$ \int t^5 dt $

Это табличный интеграл от степенной функции. Воспользуемся той же формулой, что и в предыдущем примере: $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $.$ \int t^5 dt = \frac{t^{5+1}}{5+1} + C = \frac{t^6}{6} + C $

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ t = x - 3 $:$ \frac{(x-3)^6}{6} + C $

Ответ: $ \frac{(x-3)^6}{6} + C $

2.2. 1) $\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx;$

2) $\int \frac{5\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx.$

1) Для решения интеграла $\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ воспользуемся методом замены переменной (подстановки).

Заметим, что производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, что с точностью до константы присутствует в подынтегральном выражении. Это делает замену $u = \sqrt{x}$ удобной.

Пусть $u = \sqrt{x}$.

Тогда найдем дифференциал $du$:

$du = (\sqrt{x})' dx = (x^{1/2})' dx = \frac{1}{2}x^{-1/2} dx = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$.

Отсюда выразим недостающую часть подынтегрального выражения $\frac{dx}{\sqrt{x}}$:

$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$.

Теперь подставим $u$ и $2du$ в исходный интеграл:

$\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = \int \cos(u) \cdot 2du = 2\int \cos(u) du$.

Полученный интеграл является табличным:

$2\int \cos(u) du = 2\sin(u) + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

На последнем шаге выполним обратную замену, подставив $\sqrt{x}$ вместо $u$:

$2\sin(\sqrt{x}) + C$.

Ответ: $2\sin(\sqrt{x}) + C$.

2) Для решения интеграла $\int \frac{5\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ поступим аналогично.

Сначала вынесем постоянный множитель 5 за знак интеграла:

$\int \frac{5\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = 5\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$.

Как и в предыдущем примере, используем замену переменной. Пусть $u = \sqrt{x}$.

Мы уже знаем, что $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$, и, следовательно, $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$.

Подставим новую переменную и ее дифференциал в интеграл:

$5\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = 5\int \sin(u) \cdot 2du = 10\int \sin(u) du$.

Интеграл от синуса является табличным:

$10\int \sin(u) du = 10(-\cos(u)) + C = -10\cos(u) + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь произведем обратную замену, подставив $\sqrt{x}$ вместо $u$:

$-10\cos(\sqrt{x}) + C$.

Ответ: $-10\cos(\sqrt{x}) + C$.

2.3. 1) $\int x \cdot \cos x \, dx$;

2) $\int 2x \cdot \sin x \, dx$.

1) Для нахождения неопределенного интеграла $\int x \cdot \cos x \,dx$ применяется метод интегрирования по частям. Формула этого метода: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

В подынтегральном выражении $x \cdot \cos x$ выберем множители для $u$ и $dv$:

Пусть $u = x$, тогда его дифференциал $du = dx$.

Пусть $dv = \cos x \,dx$, тогда, интегрируя, находим $v = \int \cos x \,dx = \sin x$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу интегрирования по частям:

$\int x \cdot \cos x \,dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \,dx$

Оставшийся интеграл $\int \sin x \,dx$ является табличным:

$\int \sin x \,dx = -\cos x$

Подставим его значение в наше выражение и добавим константу интегрирования $C$:

$\int x \cdot \cos x \,dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$

Ответ: $x \sin x + \cos x + C$

2) Для решения интеграла $\int 2x \cdot \sin x \,dx$ сначала вынесем константу 2 за знак интеграла:

$\int 2x \cdot \sin x \,dx = 2 \int x \cdot \sin x \,dx$

К интегралу $\int x \cdot \sin x \,dx$ применим метод интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Выберем $u$ и $dv$:

Пусть $u = x$, тогда $du = dx$.

Пусть $dv = \sin x \,dx$, тогда $v = \int \sin x \,dx = -\cos x$.

Подставим эти значения в формулу:

$\int x \cdot \sin x \,dx = x \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \,dx = -x \cos x + \int \cos x \,dx$

Интеграл от косинуса является табличным:

$\int \cos x \,dx = \sin x$

Таким образом, получаем:

$\int x \cdot \sin x \,dx = -x \cos x + \sin x$

Теперь вернемся к исходному интегралу, умножив полученный результат на 2 и добавив константу интегрирования $C$:

$\int 2x \cdot \sin x \,dx = 2(-x \cos x + \sin x) + C = -2x \cos x + 2 \sin x + C$

Ответ: $-2x \cos x + 2 \sin x + C$

2.4. 1)
$\int x \cos^2(2x) \, dx$,

2) $\int x \sin(3x) \, dx$.

1) Для решения интеграла $\int x \cdot \cos^2(2x) dx$ сначала упростим подынтегральное выражение, используя тригонометрическую формулу понижения степени: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому формула принимает вид: $\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$.

Подставим это выражение в исходный интеграл:

$\int x \cdot \frac{1 + \cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int x(1 + \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \int (x + x\cos(4x)) dx$

Разобьем интеграл на два:

$\frac{1}{2} \left( \int x dx + \int x\cos(4x) dx \right)$

Первый интеграл является табличным: $\int x dx = \frac{x^2}{2}$.

Второй интеграл $\int x\cos(4x) dx$ будем решать методом интегрирования по частям по формуле $\int u dv = uv - \int v du$.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos(4x)dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos(4x)dx = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Подставляем в формулу:

$\int x\cos(4x) dx = x \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) - \int \frac{1}{4}\sin(4x) dx = \frac{x}{4}\sin(4x) - \frac{1}{4} \int \sin(4x) dx$

Вычисляем оставшийся интеграл:

$\frac{x}{4}\sin(4x) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{4}\cos(4x) \right) = \frac{x}{4}\sin(4x) + \frac{1}{16}\cos(4x)$

Теперь объединим все найденные части:

$\frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} + \left( \frac{x}{4}\sin(4x) + \frac{1}{16}\cos(4x) \right) \right) + C$

Раскроем скобки и получим окончательный результат:

$\frac{x^2}{4} + \frac{x}{8}\sin(4x) + \frac{1}{32}\cos(4x) + C$

Ответ: $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{8}\sin(4x) + \frac{1}{32}\cos(4x) + C$

2) Для решения интеграла $\int x \cdot \sin(3x) dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$.

В качестве $u$ выберем многочлен, а в качестве $dv$ — тригонометрическую функцию.

Пусть $u = x$, тогда $du = dx$.

Пусть $dv = \sin(3x) dx$, тогда $v = \int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

Подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:

$\int x \sin(3x) dx = x \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) - \int \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) dx$

Упростим выражение:

$-\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3} \int \cos(3x) dx$

Теперь вычислим оставшийся интеграл, который является табличным:

$\int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$

Подставим результат обратно в наше выражение:

$-\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) + C = -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C$

Ответ: $-\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C$

Найдите неопределенный интеграл (2.5.–2.7.)

2.5. 1) $\int x \cdot (2x - 1)^7 dx$;

2) $\int x \cdot (3x + 1)^8 dx$.

1) Для нахождения интеграла $I = \int x \cdot (2x - 1)^7 dx$ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 2x - 1$. Тогда $dt = (2x - 1)' dx = 2 dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.

Также выразим $x$ через $t$: из $t = 2x - 1$ следует, что $2x = t + 1$, то есть $x = \frac{t + 1}{2}$.

Подставим эти выражения в исходный интеграл:

$I = \int \frac{t + 1}{2} \cdot t^7 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int (t + 1)t^7 dt = \frac{1}{4} \int (t^8 + t^7) dt$.

Теперь найдем интеграл от степенной функции:

$I = \frac{1}{4} \left( \frac{t^9}{9} + \frac{t^8}{8} \right) + C = \frac{t^9}{36} + \frac{t^8}{32} + C$.

Произведем обратную замену, подставив $t = 2x - 1$:

$I = \frac{(2x - 1)^9}{36} + \frac{(2x - 1)^8}{32} + C$.

Для упрощения ответа можно вынести за скобки общий множитель. Приведем дроби к общему знаменателю $288$:

$I = \frac{8(2x-1)^9 + 9(2x-1)^8}{288} + C = \frac{(2x-1)^8 (8(2x-1) + 9)}{288} + C$.

$I = \frac{(2x - 1)^8 (16x - 8 + 9)}{288} + C = \frac{(2x - 1)^8(16x + 1)}{288} + C$.

Ответ: $\frac{(2x - 1)^8(16x + 1)}{288} + C$.

2) Для нахождения интеграла $I = \int x \cdot (3x + 1)^8 dx$ также воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 3x + 1$. Тогда $dt = (3x + 1)' dx = 3 dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$.

Выразим $x$ через $t$: из $t = 3x + 1$ следует, что $3x = t - 1$, то есть $x = \frac{t - 1}{3}$.

Подставим эти выражения в исходный интеграл:

$I = \int \frac{t - 1}{3} \cdot t^8 \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{9} \int (t - 1)t^8 dt = \frac{1}{9} \int (t^9 - t^8) dt$.

Найдем интеграл от степенной функции:

$I = \frac{1}{9} \left( \frac{t^{10}}{10} - \frac{t^9}{9} \right) + C = \frac{t^{10}}{90} - \frac{t^9}{81} + C$.

Произведем обратную замену, подставив $t = 3x + 1$:

$I = \frac{(3x + 1)^{10}}{90} - \frac{(3x + 1)^9}{81} + C$.

Для упрощения ответа приведем дроби к общему знаменателю $810$:

$I = \frac{9(3x+1)^{10} - 10(3x+1)^9}{810} + C = \frac{(3x+1)^9 (9(3x+1) - 10)}{810} + C$.

$I = \frac{(3x + 1)^9 (27x + 9 - 10)}{810} + C = \frac{(3x + 1)^9(27x - 1)}{810} + C$.

Ответ: $\frac{(3x + 1)^9(27x - 1)}{810} + C$.

2.6.1) $\int x \sqrt{4+x} dx;$

2) $\int x \sqrt{x-3} dx;$

3) $\int \sin x \cdot \sqrt{\cos x} dx.$

1) Для решения интеграла $ \int x \cdot \sqrt{4+x} \,dx $ используем метод замены переменной (также известный как метод подстановки).

Пусть $ t = 4 + x $. Из этого выражения найдем $ x $ и дифференциал $ dx $.

$ x = t - 4 $

$ dt = d(4+x) = (4+x)' dx = 1 \cdot dx = dx $

Теперь подставим эти выражения в исходный интеграл, чтобы получить интеграл относительно новой переменной $ t $:

$ \int x \cdot \sqrt{4+x} \,dx = \int (t-4) \cdot \sqrt{t} \,dt $

Представим корень как степень $ 1/2 $ и раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$ \int (t-4) \cdot t^{1/2} \,dt = \int (t \cdot t^{1/2} - 4 \cdot t^{1/2}) \,dt = \int (t^{3/2} - 4t^{1/2}) \,dt $

Теперь воспользуемся свойством линейности интеграла и табличным интегралом для степенной функции $ \int t^n \,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int t^{3/2} \,dt - 4 \int t^{1/2} \,dt = \frac{t^{3/2+1}}{3/2+1} - 4 \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{t^{5/2}}{5/2} - 4 \frac{t^{3/2}}{3/2} + C $

$ = \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{8}{3} t^{3/2} + C $

Выполним обратную замену, подставив $ t = 4+x $:

$ \frac{2}{5} (4+x)^{5/2} - \frac{8}{3} (4+x)^{3/2} + C $

Этот результат можно упростить. Вынесем за скобки общий множитель $ \frac{2}{15}(4+x)^{3/2} $:

$ \frac{2}{15}(4+x)^{3/2} \left( 3(4+x) - 20 \right) + C = \frac{2}{15}(4+x)^{3/2} (12 + 3x - 20) + C = \frac{2}{15}(3x-8)(4+x)^{3/2} + C $

Ответ: $ \frac{2}{15}(3x-8)(4+x)^{3/2} + C $

2) Для решения интеграла $ \int x \cdot \sqrt{x-3} \,dx $ применим тот же метод замены переменной.

Пусть $ t = x - 3 $. Тогда $ x = t + 3 $ и $ dx = dt $.

Подставим эти выражения в интеграл:

$ \int x \cdot \sqrt{x-3} \,dx = \int (t+3) \cdot \sqrt{t} \,dt $

Раскроем скобки, представив $ \sqrt{t} $ как $ t^{1/2} $:

$ \int (t \cdot t^{1/2} + 3 \cdot t^{1/2}) \,dt = \int (t^{3/2} + 3t^{1/2}) \,dt $

Интегрируем по частям, используя формулу для степенной функции:

$ \frac{t^{3/2+1}}{3/2+1} + 3 \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{t^{5/2}}{5/2} + 3 \frac{t^{3/2}}{3/2} + C $

$ = \frac{2}{5} t^{5/2} + 2 t^{3/2} + C $

Выполним обратную замену $ t = x-3 $:

$ \frac{2}{5} (x-3)^{5/2} + 2 (x-3)^{3/2} + C $

Упростим полученное выражение, вынеся за скобки общий множитель $ \frac{2}{5}(x-3)^{3/2} $:

$ \frac{2}{5}(x-3)^{3/2} \left( (x-3) + 5 \right) + C = \frac{2}{5}(x-3)^{3/2} (x+2) + C $

Ответ: $ \frac{2}{5}(x+2)(x-3)^{3/2} + C $

3) Для нахождения интеграла $ \int \sin x \cdot \sqrt{\cos x} \,dx $ используем метод замены переменной.

Заметим, что производная функции $ \cos x $, стоящей под корнем, равна $ (\cos x)' = -\sin x $. Множитель $ \sin x $ уже присутствует в подынтегральном выражении, что делает замену удобной.

Пусть $ t = \cos x $. Тогда дифференциал $ dt $ равен:

$ dt = (\cos x)' \,dx = -\sin x \,dx $

Отсюда выразим $ \sin x \,dx = -dt $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int \sqrt{\cos x} \cdot (\sin x \,dx) = \int \sqrt{t} \cdot (-dt) = - \int t^{1/2} \,dt $

Теперь найдем интеграл от степенной функции:

$ - \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = - \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{2}{3} t^{3/2} + C $

Выполняем обратную замену $ t = \cos x $, чтобы вернуться к исходной переменной:

$ -\frac{2}{3} (\cos x)^{3/2} + C $

Ответ: $ -\frac{2}{3} (\cos x)^{3/2} + C $

2.7.1) $\int x^2 \cos 4x dx$;

2) $\int x \cos(x+2) dx$;

3) $\int (x^2 - 3x)\sin 2x dx$;

1) Для вычисления интеграла $ \int x^2 \cos(4x) dx $ мы будем использовать метод интегрирования по частям дважды. Формула интегрирования по частям: $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

Первое применение:

Пусть $ u = x^2 $ и $ dv = \cos(4x) dx $.

Тогда $ du = 2x \, dx $ и $ v = \int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x) $.

Подставляем в формулу:

$ \int x^2 \cos(4x) dx = x^2 \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) - \int \frac{1}{4}\sin(4x) \cdot 2x \, dx = \frac{1}{4}x^2\sin(4x) - \frac{1}{2}\int x\sin(4x) dx $.

Второе применение для интеграла $ \int x\sin(4x) dx $:Пусть $ u_1 = x $ и $ dv_1 = \sin(4x) dx $.

Тогда $ du_1 = dx $ и $ v_1 = \int \sin(4x) dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) $.

Подставляем в формулу:

$ \int x\sin(4x) dx = x \cdot (-\frac{1}{4}\cos(4x)) - \int (-\frac{1}{4}\cos(4x)) dx = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{4}\int\cos(4x) dx = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{16}\sin(4x) $.

Теперь подставим результат второго интегрирования в первое выражение:

$ \int x^2 \cos(4x) dx = \frac{1}{4}x^2\sin(4x) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{16}\sin(4x)\right) + C = \frac{1}{4}x^2\sin(4x) + \frac{1}{8}x\cos(4x) - \frac{1}{32}\sin(4x) + C $.

Ответ: $ \frac{1}{4}x^2\sin(4x) + \frac{1}{8}x\cos(4x) - \frac{1}{32}\sin(4x) + C $

2) Для вычисления интеграла $ \int x \cos(x+2) dx $ применим метод интегрирования по частям $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

Пусть $ u = x $ и $ dv = \cos(x+2) dx $.

Тогда $ du = dx $ и $ v = \int \cos(x+2) dx = \sin(x+2) $.

Подставляем в формулу:

$ \int x \cos(x+2) dx = x \sin(x+2) - \int \sin(x+2) dx $.

Вычисляем оставшийся интеграл:

$ \int \sin(x+2) dx = -\cos(x+2) $.

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $ C $:

$ x \sin(x+2) - (-\cos(x+2)) + C = x\sin(x+2) + \cos(x+2) + C $.

Ответ: $ x\sin(x+2) + \cos(x+2) + C $

3) Для вычисления интеграла $ \int (x^2 - 3x)\sin(2x) dx $ будем использовать метод интегрирования по частям $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ дважды.

Первое применение:

Пусть $ u = x^2 - 3x $ и $ dv = \sin(2x) dx $.

Тогда $ du = (2x - 3) dx $ и $ v = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) $.

Подставляем в формулу:

$ \int (x^2 - 3x)\sin(2x) dx = (x^2 - 3x)(-\frac{1}{2}\cos(2x)) - \int (-\frac{1}{2}\cos(2x))(2x-3) dx = -\frac{1}{2}(x^2 - 3x)\cos(2x) + \frac{1}{2}\int (2x-3)\cos(2x) dx $.

Второе применение для интеграла $ \int (2x-3)\cos(2x) dx $:

Пусть $ u_1 = 2x - 3 $ и $ dv_1 = \cos(2x) dx $.

Тогда $ du_1 = 2 dx $ и $ v_1 = \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

Подставляем в формулу:

$ \int (2x-3)\cos(2x) dx = (2x-3)(\frac{1}{2}\sin(2x)) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) \cdot 2 dx = \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) - \int \sin(2x) dx = \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) $.

Теперь подставим результат второго интегрирования в первое выражение:

$ \int (x^2 - 3x)\sin(2x) dx = -\frac{1}{2}(x^2 - 3x)\cos(2x) + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) \right) + C $.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$ = (-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x)\cos(2x) + (\frac{1}{2}x - \frac{3}{4})\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C $

$ = (-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4})\cos(2x) + (\frac{1}{2}x - \frac{3}{4})\sin(2x) + C $.

Ответ: $ \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{3x}{2} + \frac{1}{4}\right)\cos(2x) + \left(\frac{x}{2} - \frac{3}{4}\right)\sin(2x) + C $

Найдите неопределенный интеграл (2.8.-2.9.)

2.8. 1) $\int \sqrt{1 - x^2} dx;$ 2) $\int \cos^3 x \cdot \sin x dx.$

1)Для вычисления интеграла $\int \sqrt{1 - x^2} dx$ применяется метод тригонометрической замены, так как подынтегральное выражение имеет вид $\sqrt{a^2 - x^2}$, где $a=1$.Сделаем замену: $x = \sin(t)$.Тогда дифференциал $dx = (\sin(t))' dt = \cos(t) dt$. Чтобы замена была взаимно-однозначной, ограничим $t$ интервалом $[-\pi/2, \pi/2]$. На этом интервале $\cos(t) \ge 0$.Подставим замену в исходный интеграл:

$\int \sqrt{1 - \sin^2(t)} \cdot \cos(t) dt$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$, получаем $1 - \sin^2(t) = \cos^2(t)$.

Интеграл преобразуется к виду:

$\int \sqrt{\cos^2(t)} \cdot \cos(t) dt = \int |\cos(t)| \cdot \cos(t) dt$

Поскольку $t \in [-\pi/2, \pi/2]$, то $\cos(t) \ge 0$, и $|\cos(t)| = \cos(t)$.

$\int \cos(t) \cdot \cos(t) dt = \int \cos^2(t) dt$

Для интегрирования $\cos^2(t)$ используем формулу понижения степени: $\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$.

$\int \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2t)) dt = \frac{1}{2} \left( \int 1 dt + \int \cos(2t) dt \right) = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right) + C$

Теперь необходимо выполнить обратную замену.Из $x = \sin(t)$ следует, что $t = \arcsin(x)$.Выражение $\sin(2t)$ преобразуем по формуле двойного угла: $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$.Мы знаем, что $\sin(t) = x$. Тогда $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$.Следовательно, $\sin(2t) = 2x\sqrt{1-x^2}$.Подставляем полученные выражения в результат интегрирования:

$\frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right) + C = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin(2t) + C = \frac{1}{2}\arcsin(x) + \frac{1}{4}(2x\sqrt{1-x^2}) + C = \frac{1}{2}\arcsin(x) + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x) + C$.

2)Для нахождения интеграла $\int \cos^3(x) \sin(x) dx$ удобно использовать метод замены переменной (подстановки).Заметим, что $(\cos(x))' = -\sin(x)$. Это подсказывает нам сделать следующую замену:Пусть $u = \cos(x)$.Тогда найдем дифференциал $du$: $du = (\cos(x))' dx = -\sin(x) dx$.Отсюда мы можем выразить $\sin(x) dx = -du$.Теперь подставим $u$ и $du$ в исходный интеграл:

$\int \cos^3(x) \sin(x) dx = \int u^3 (-du) = -\int u^3 du$

Получился простой табличный интеграл от степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

$-\int u^3 du = -\frac{u^{3+1}}{3+1} + C = -\frac{u^4}{4} + C$

Последний шаг — выполнить обратную замену, подставив вместо $u$ его выражение через $x$: $u = \cos(x)$.

$-\frac{\cos^4(x)}{4} + C$.

Ответ: $-\frac{\cos^4(x)}{4} + C$.

2.9. 1) $ \int x \cdot \sin^2 x dx; $

2) $ \int x \cdot \cos^2 x dx. $

1) ∫ x · sin²x dx

Для решения данного интеграла мы используем тригонометрическую формулу понижения степени для синуса: $sin²x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.

Подставим эту формулу в исходный интеграл:

$∫ x · sin²x dx = ∫ x · \frac{1 - cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} ∫ (x - x · cos(2x)) dx$

Разобьем интеграл на два:

$\frac{1}{2} ∫ (x - x · cos(2x)) dx = \frac{1}{2} (∫ x dx - ∫ x · cos(2x) dx)$

Первый интеграл является табличным: $∫ x dx = \frac{x²}{2}$.

Второй интеграл $∫ x · cos(2x) dx$ решим методом интегрирования по частям по формуле $∫ u dv = uv - ∫ v du$.

Пусть $u = x$, тогда $du = dx$.

Пусть $dv = cos(2x) dx$, тогда $v = ∫ cos(2x) dx = \frac{1}{2}sin(2x)$.

Применяем формулу интегрирования по частям:

$∫ x · cos(2x) dx = x · \frac{1}{2}sin(2x) - ∫ \frac{1}{2}sin(2x) dx = \frac{x}{2}sin(2x) - \frac{1}{2}∫ sin(2x) dx$

Оставшийся интеграл также табличный:

$\frac{x}{2}sin(2x) - \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}cos(2x)) = \frac{x}{2}sin(2x) + \frac{1}{4}cos(2x)$

Теперь соберем все части вместе:

$\frac{1}{2} (∫ x dx - ∫ x · cos(2x) dx) = \frac{1}{2} (\frac{x²}{2} - (\frac{x}{2}sin(2x) + \frac{1}{4}cos(2x))) + C$

Раскроем скобки и получим окончательный ответ:

$\frac{x²}{4} - \frac{x}{4}sin(2x) - \frac{1}{8}cos(2x) + C$

Ответ: $\frac{x²}{4} - \frac{x}{4}sin(2x) - \frac{1}{8}cos(2x) + C$

2) ∫ x · cos²x dx

Для решения этого интеграла мы используем тригонометрическую формулу понижения степени для косинуса: $cos²x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Подставим эту формулу в исходный интеграл:

$∫ x · cos²x dx = ∫ x · \frac{1 + cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} ∫ (x + x · cos(2x)) dx$

Разобьем интеграл на два:

$\frac{1}{2} ∫ (x + x · cos(2x)) dx = \frac{1}{2} (∫ x dx + ∫ x · cos(2x) dx)$

Первый интеграл является табличным: $∫ x dx = \frac{x²}{2}$.

Второй интеграл $∫ x · cos(2x) dx$ мы уже решили в предыдущем пункте методом интегрирования по частям:

$∫ x · cos(2x) dx = \frac{x}{2}sin(2x) + \frac{1}{4}cos(2x)$

Теперь соберем все части вместе:

$\frac{1}{2} (∫ x dx + ∫ x · cos(2x) dx) = \frac{1}{2} (\frac{x²}{2} + (\frac{x}{2}sin(2x) + \frac{1}{4}cos(2x))) + C$

Раскроем скобки и получим окончательный ответ:

$\frac{x²}{4} + \frac{x}{4}sin(2x) + \frac{1}{8}cos(2x) + C$

Ответ: $\frac{x²}{4} + \frac{x}{4}sin(2x) + \frac{1}{8}cos(2x) + C$

2.10. Найдите интеграл:

1) $\int x \arcsin x dx;$

2) $\int x \arccos x dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int x \arcsin x \,dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \,dv = uv - \int v \,du$.

Пусть $u = \arcsin x$ и $dv = x \,dx$.

Тогда $du = (\arcsin x)' \,dx = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$, а $v = \int x \,dx = \frac{x^2}{2}$.

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$\int x \arcsin x \,dx = \frac{x^2}{2} \arcsin x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \frac{x^2}{2} \arcsin x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.

Теперь найдем оставшийся интеграл $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$. Преобразуем подынтегральное выражение, прибавив и вычтя 1 в числителе:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \int \frac{x^2 - 1 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \int \frac{-(1-x^2) + 1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \int \left( -\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) \,dx$

$= \int \left( -\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) \,dx = -\int \sqrt{1-x^2} \,dx + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.

Первый интеграл $\int \sqrt{1-x^2} \,dx$ является табличным (или находится с помощью тригонометрической подстановки $x = \sin t$), его значение равно $\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x$.

Второй интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$ также является табличным и равен $\arcsin x$.

Следовательно, $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = -\left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x \right) + \arcsin x = -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x$.

Подставим найденный результат обратно в исходное выражение:

$\int x \arcsin x \,dx = \frac{x^2}{2} \arcsin x - \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x \right) + C$

$= \frac{x^2}{2} \arcsin x + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{4}\arcsin x + C = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\right)\arcsin x + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$

$= \frac{2x^2-1}{4}\arcsin x + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$.

Ответ: $\frac{2x^2-1}{4}\arcsin x + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int x \arccos x \,dx$ также воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \,dv = uv - \int v \,du$.

Пусть $u = \arccos x$ и $dv = x \,dx$.

Тогда $du = (\arccos x)' \,dx = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$, а $v = \int x \,dx = \frac{x^2}{2}$.

Подставляем в формулу:

$\int x \arccos x \,dx = \frac{x^2}{2} \arccos x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \,dx = \frac{x^2}{2} \arccos x + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.

Интеграл $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$ был вычислен в предыдущем пункте:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x$.

Подставим этот результат:

$\int x \arccos x \,dx = \frac{x^2}{2} \arccos x + \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x \right) + C$

$= \frac{x^2}{2} \arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{4}\arcsin x + C$.

Чтобы привести ответ к более однородному виду, выразим $\arcsin x$ через $\arccos x$ с помощью тождества $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, откуда $\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x$.

$\frac{x^2}{2} \arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{2} - \arccos x\right) + C = \frac{x^2}{2} \arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\arccos x + C$

$= \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\right)\arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C_1$, где $C_1 = C + \frac{\pi}{8}$ - новая константа интегрирования.

$= \frac{2x^2-1}{4}\arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C_1$.

Ответ: $\frac{2x^2-1}{4}\arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$.

2.11. Найдите интеграл:

1) $\int x \mathrm{arcctg} x dx;$

2) $\int x \mathrm{arcctg}^2 x dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int x \operatorname{arcctg} x \, dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = \operatorname{arcctg} x$ и $dv = x \, dx$.

Тогда найдем дифференциал $du$ и функцию $v$:

$du = (\operatorname{arcctg} x)' dx = -\frac{1}{1+x^2} dx$

$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$\int x \operatorname{arcctg} x \, dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x - \int \frac{x^2}{2} \left(-\frac{1}{1+x^2}\right) dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$.

Теперь найдем оставшийся интеграл $\int \frac{x^2}{1+x^2} dx$. Для этого преобразуем подынтегральное выражение, прибавив и вычтя 1 в числителе:

$\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = \int \left(\frac{1+x^2}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = x - \operatorname{arctg} x + C_1$.

Подставим результат обратно в основное выражение:

$\frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{1}{2} (x - \operatorname{arctg} x) + C = \frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{arctg} x + C$.

Для более компактной записи можно использовать тождество $\operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcctg} x$. Подставим его:

$\frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} - \operatorname{arcctg} x\right) + C = \frac{x^2}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} x + C = \frac{x^2+1}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} + C'$, где $C' = C - \frac{\pi}{4}$ — новая константа интегрирования.

Ответ: $\frac{x^2+1}{2} \operatorname{arcctg} x + \frac{x}{2} + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int x \operatorname{arctg}(2x) \, dx$ также воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = \operatorname{arctg}(2x)$ и $dv = x \, dx$.

Тогда найдем дифференциал $du$ и функцию $v$:

$du = (\operatorname{arctg}(2x))' dx = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 \, dx = \frac{2}{1+4x^2} dx$

$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

Подставляем в формулу:

$\int x \operatorname{arctg}(2x) \, dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg}(2x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2}{1+4x^2} dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg}(2x) - \int \frac{x^2}{1+4x^2} dx$.

Теперь найдем интеграл $\int \frac{x^2}{1+4x^2} dx$. Преобразуем подынтегральное выражение:

$\int \frac{x^2}{1+4x^2} dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^2}{1+4x^2} dx = \frac{1}{4} \int \frac{4x^2+1-1}{1+4x^2} dx = \frac{1}{4} \int \left(1 - \frac{1}{1+4x^2}\right) dx$.

$\frac{1}{4} \left(\int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+(2x)^2} dx\right) = \frac{1}{4} \left(x - \frac{1}{2} \operatorname{arctg}(2x)\right) + C_1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{8} \operatorname{arctg}(2x) + C_1$.

Подставим результат обратно в основное выражение:

$\frac{x^2}{2} \operatorname{arctg}(2x) - \left(\frac{x}{4} - \frac{1}{8} \operatorname{arctg}(2x)\right) + C = \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg}(2x) - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \operatorname{arctg}(2x) + C$.

Сгруппируем слагаемые:

$\left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{8}\right) \operatorname{arctg}(2x) - \frac{x}{4} + C = \frac{4x^2+1}{8} \operatorname{arctg}(2x) - \frac{x}{4} + C$.

Ответ: $\frac{4x^2+1}{8} \operatorname{arctg}(2x) - \frac{x}{4} + C$.

2.12. Постройте график функции в программе "Живая геометрия" и укажите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$;

2) $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$;

3) $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$;

4) $f(x) = \frac{2x+3}{x-2}$.

1) Для функции $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ область определения — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Поскольку функция дробно-рациональная, ее знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + 2 = 0$, следовательно, $x = -2$. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -2. Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x - 2 = 0$, следовательно, $x = 2$. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2. Ответ: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + 1 = 0$, следовательно, $x = -1$. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -1. Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x - 2 = 0$, следовательно, $x = 2$. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2. Ответ: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.