Номер 2.2, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.2. 1) $\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx;$

2) $\int \frac{5\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx.$

1) Для решения интеграла $\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ воспользуемся методом замены переменной (подстановки).

Заметим, что производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, что с точностью до константы присутствует в подынтегральном выражении. Это делает замену $u = \sqrt{x}$ удобной.

Пусть $u = \sqrt{x}$.

Тогда найдем дифференциал $du$:

$du = (\sqrt{x})' dx = (x^{1/2})' dx = \frac{1}{2}x^{-1/2} dx = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$.

Отсюда выразим недостающую часть подынтегрального выражения $\frac{dx}{\sqrt{x}}$:

$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$.

Теперь подставим $u$ и $2du$ в исходный интеграл:

$\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = \int \cos(u) \cdot 2du = 2\int \cos(u) du$.

Полученный интеграл является табличным:

$2\int \cos(u) du = 2\sin(u) + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

На последнем шаге выполним обратную замену, подставив $\sqrt{x}$ вместо $u$:

$2\sin(\sqrt{x}) + C$.

Ответ: $2\sin(\sqrt{x}) + C$.

2) Для решения интеграла $\int \frac{5\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ поступим аналогично.

Сначала вынесем постоянный множитель 5 за знак интеграла:

$\int \frac{5\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = 5\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$.

Как и в предыдущем примере, используем замену переменной. Пусть $u = \sqrt{x}$.

Мы уже знаем, что $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$, и, следовательно, $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$.

Подставим новую переменную и ее дифференциал в интеграл:

$5\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = 5\int \sin(u) \cdot 2du = 10\int \sin(u) du$.

Интеграл от синуса является табличным:

$10\int \sin(u) du = 10(-\cos(u)) + C = -10\cos(u) + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь произведем обратную замену, подставив $\sqrt{x}$ вместо $u$:

$-10\cos(\sqrt{x}) + C$.

Ответ: $-10\cos(\sqrt{x}) + C$.