Номер 2.4, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.4. 1)
$\int x \cos^2(2x) \, dx$,

2) $\int x \sin(3x) \, dx$.

1) Для решения интеграла $\int x \cdot \cos^2(2x) dx$ сначала упростим подынтегральное выражение, используя тригонометрическую формулу понижения степени: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому формула принимает вид: $\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$.

Подставим это выражение в исходный интеграл:

$\int x \cdot \frac{1 + \cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int x(1 + \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \int (x + x\cos(4x)) dx$

Разобьем интеграл на два:

$\frac{1}{2} \left( \int x dx + \int x\cos(4x) dx \right)$

Первый интеграл является табличным: $\int x dx = \frac{x^2}{2}$.

Второй интеграл $\int x\cos(4x) dx$ будем решать методом интегрирования по частям по формуле $\int u dv = uv - \int v du$.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos(4x)dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos(4x)dx = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Подставляем в формулу:

$\int x\cos(4x) dx = x \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) - \int \frac{1}{4}\sin(4x) dx = \frac{x}{4}\sin(4x) - \frac{1}{4} \int \sin(4x) dx$

Вычисляем оставшийся интеграл:

$\frac{x}{4}\sin(4x) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{4}\cos(4x) \right) = \frac{x}{4}\sin(4x) + \frac{1}{16}\cos(4x)$

Теперь объединим все найденные части:

$\frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} + \left( \frac{x}{4}\sin(4x) + \frac{1}{16}\cos(4x) \right) \right) + C$

Раскроем скобки и получим окончательный результат:

$\frac{x^2}{4} + \frac{x}{8}\sin(4x) + \frac{1}{32}\cos(4x) + C$

Ответ: $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{8}\sin(4x) + \frac{1}{32}\cos(4x) + C$

2) Для решения интеграла $\int x \cdot \sin(3x) dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$.

В качестве $u$ выберем многочлен, а в качестве $dv$ — тригонометрическую функцию.

Пусть $u = x$, тогда $du = dx$.

Пусть $dv = \sin(3x) dx$, тогда $v = \int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

Подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:

$\int x \sin(3x) dx = x \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) - \int \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) dx$

Упростим выражение:

$-\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3} \int \cos(3x) dx$

Теперь вычислим оставшийся интеграл, который является табличным:

$\int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$

Подставим результат обратно в наше выражение:

$-\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) + C = -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C$

Ответ: $-\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C$