Номер 2.8, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите неопределенный интеграл (2.8.-2.9.)

2.8. 1) $\int \sqrt{1 - x^2} dx;$ 2) $\int \cos^3 x \cdot \sin x dx.$

1)Для вычисления интеграла $\int \sqrt{1 - x^2} dx$ применяется метод тригонометрической замены, так как подынтегральное выражение имеет вид $\sqrt{a^2 - x^2}$, где $a=1$.Сделаем замену: $x = \sin(t)$.Тогда дифференциал $dx = (\sin(t))' dt = \cos(t) dt$. Чтобы замена была взаимно-однозначной, ограничим $t$ интервалом $[-\pi/2, \pi/2]$. На этом интервале $\cos(t) \ge 0$.Подставим замену в исходный интеграл:

$\int \sqrt{1 - \sin^2(t)} \cdot \cos(t) dt$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$, получаем $1 - \sin^2(t) = \cos^2(t)$.

Интеграл преобразуется к виду:

$\int \sqrt{\cos^2(t)} \cdot \cos(t) dt = \int |\cos(t)| \cdot \cos(t) dt$

Поскольку $t \in [-\pi/2, \pi/2]$, то $\cos(t) \ge 0$, и $|\cos(t)| = \cos(t)$.

$\int \cos(t) \cdot \cos(t) dt = \int \cos^2(t) dt$

Для интегрирования $\cos^2(t)$ используем формулу понижения степени: $\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$.

$\int \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2t)) dt = \frac{1}{2} \left( \int 1 dt + \int \cos(2t) dt \right) = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right) + C$

Теперь необходимо выполнить обратную замену.Из $x = \sin(t)$ следует, что $t = \arcsin(x)$.Выражение $\sin(2t)$ преобразуем по формуле двойного угла: $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$.Мы знаем, что $\sin(t) = x$. Тогда $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$.Следовательно, $\sin(2t) = 2x\sqrt{1-x^2}$.Подставляем полученные выражения в результат интегрирования:

$\frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right) + C = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin(2t) + C = \frac{1}{2}\arcsin(x) + \frac{1}{4}(2x\sqrt{1-x^2}) + C = \frac{1}{2}\arcsin(x) + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x) + C$.

2)Для нахождения интеграла $\int \cos^3(x) \sin(x) dx$ удобно использовать метод замены переменной (подстановки).Заметим, что $(\cos(x))' = -\sin(x)$. Это подсказывает нам сделать следующую замену:Пусть $u = \cos(x)$.Тогда найдем дифференциал $du$: $du = (\cos(x))' dx = -\sin(x) dx$.Отсюда мы можем выразить $\sin(x) dx = -du$.Теперь подставим $u$ и $du$ в исходный интеграл:

$\int \cos^3(x) \sin(x) dx = \int u^3 (-du) = -\int u^3 du$

Получился простой табличный интеграл от степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

$-\int u^3 du = -\frac{u^{3+1}}{3+1} + C = -\frac{u^4}{4} + C$

Последний шаг — выполнить обратную замену, подставив вместо $u$ его выражение через $x$: $u = \cos(x)$.

$-\frac{\cos^4(x)}{4} + C$.

Ответ: $-\frac{\cos^4(x)}{4} + C$.