Номер 2.1, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите неопределенный интеграл (2.1.–2.4.):

2.1. 1) $\int x \cdot (1 + x)^4 dx;$

2) $\int (x - 3)^5 dx.$

2.1. 1)

Для нахождения интеграла $ \int x(1+x)^4 dx $ воспользуемся методом замены переменной. Этот метод удобен, когда подынтегральное выражение можно упростить, введя новую переменную.

Введем замену: пусть $ t = 1 + x $. Из этого выражения найдем $ x $, он будет равен $ x = t - 1 $. Далее найдем дифференциал: $ dt = d(1+x) = dx $.

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $dx$ в исходный интеграл:$ \int (t - 1) t^4 dt $

Раскроем скобки в подынтегральном выражении, умножив $ t^4 $ на каждый член в скобках:$ \int (t^5 - t^4) dt $

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на два отдельных интеграла:$ \int t^5 dt - \int t^4 dt $

Теперь найдем каждый интеграл по формуле для степенной функции $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $:$ \frac{t^{5+1}}{5+1} - \frac{t^{4+1}}{4+1} + C = \frac{t^6}{6} - \frac{t^5}{5} + C $

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Последний шаг — выполнить обратную замену, подставив вместо $t$ его выражение через $x$, то есть $ t = 1 + x $:$ \frac{(1+x)^6}{6} - \frac{(1+x)^5}{5} + C $

Ответ: $ \frac{(1+x)^6}{6} - \frac{(1+x)^5}{5} + C $

2)

Для нахождения интеграла $ \int (x-3)^5 dx $ также применим метод замены переменной.

Введем замену: пусть $ t = x - 3 $. Тогда дифференциал $ dt = d(x-3) = dx $.

Подставим новую переменную и ее дифференциал в интеграл:$ \int t^5 dt $

Это табличный интеграл от степенной функции. Воспользуемся той же формулой, что и в предыдущем примере: $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $.$ \int t^5 dt = \frac{t^{5+1}}{5+1} + C = \frac{t^6}{6} + C $

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ t = x - 3 $:$ \frac{(x-3)^6}{6} + C $

Ответ: $ \frac{(x-3)^6}{6} + C $