Номер 1.18, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.18. Докажите тождество:

1) $2 \cdot \left(0.5 - 0.5\cos4\alpha + \frac{1}{1 + \text{tg}^2 2\alpha}\right) - \left(1 - \sin^2 2\alpha\right) \cdot \frac{1}{\text{ctg}^2 2\alpha} - \cos^2 2\alpha = 1;$

2) $\frac{\cos^2(2\pi + 4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2\left(4\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)}{\sin^2(3\pi - (\alpha + \beta)) + \text{tg}^2(\alpha + \beta) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right)} - \cos^2(2\pi + (\alpha + \beta)) = 0;$

3) $\frac{\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) \cdot \sin(4\pi - 2\alpha) \cdot \cos(-2\alpha)}{\text{ctg}(6\pi - 4\alpha) \cdot \left(\cos^2 2\alpha - \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right)\right)} - 0.5\text{tg}4\alpha = 0.$

1)

Преобразуем левую часть тождества: $2 \cdot (0,5 - 0,5\cos4\alpha + \frac{1}{1 + \tg^2 2\alpha}) - (1 - \sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1}{\ctg^2 2\alpha} - \cos^2 2\alpha$.

Рассмотрим выражение в первой скобке: $0,5 - 0,5\cos4\alpha + \frac{1}{1 + \tg^2 2\alpha}$.

Используем формулу понижения степени $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$. Для нашего случая $1 - \cos4\alpha = 2\sin^2 2\alpha$.

Тогда $0,5 - 0,5\cos4\alpha = 0,5(1 - \cos4\alpha) = 0,5 \cdot 2\sin^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество $1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Тогда $\frac{1}{1 + \tg^2 2\alpha} = \cos^2 2\alpha$.

Подставим обратно в первую скобку: $\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1$.

Первая часть выражения: $2 \cdot 1 = 2$.

Теперь преобразуем вторую часть: $(1 - \sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1}{\ctg^2 2\alpha}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 2\alpha = \cos^2 2\alpha$ и определение $\frac{1}{\ctg^2 2\alpha} = \tg^2 2\alpha = \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}$.

Получаем: $\cos^2 2\alpha \cdot \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha} = \sin^2 2\alpha$.

Собираем все выражение вместе:

$2 - \sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha = 2 - (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) = 2 - 1 = 1$.

Левая часть равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: $1 = 1$.

2)

Преобразуем левую часть тождества: $\frac{\cos^2(2\pi + 4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(4\alpha - \frac{3\pi}{2})}{\sin^2(3\pi - (\alpha + \beta)) + \tg^2(\alpha + \beta) - \cos^2(\frac{5\pi}{2} - (\alpha + \beta))} - \cos^2(2\pi + (\alpha + \beta))$.

Упростим числитель дроби, используя формулы приведения и периодичность функций:

$\cos(2\pi + 4\alpha) = \cos(4\alpha)$.

$\cos(4\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} - 4\alpha) = -\sin(4\alpha)$, следовательно $\cos^2(4\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin^2(4\alpha)$.

Числитель принимает вид: $\cos^2(4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \sin^2(4\alpha) = (\cos^2(4\alpha) + \sin^2(4\alpha)) - \cos^2(\alpha + \beta) = 1 - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin^2(\alpha + \beta)$.

Упростим знаменатель дроби:

$\sin(3\pi - (\alpha + \beta)) = \sin(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$, следовательно $\sin^2(3\pi - (\alpha + \beta)) = \sin^2(\alpha + \beta)$.

$\cos(\frac{5\pi}{2} - (\alpha + \beta)) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$, следовательно $\cos^2(\frac{5\pi}{2} - (\alpha + \beta)) = \sin^2(\alpha + \beta)$.

Знаменатель принимает вид: $\sin^2(\alpha + \beta) + \tg^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \tg^2(\alpha + \beta)$.

Теперь упростим всю дробь:

$\frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\tg^2(\alpha + \beta)} = \frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\cos^2(\alpha + \beta)}} = \cos^2(\alpha + \beta)$.

Упростим последнее слагаемое в исходном выражении:

$\cos^2(2\pi + (\alpha + \beta)) = \cos^2(\alpha + \beta)$.

Собираем все вместе:

$\cos^2(\alpha + \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = 0$.

Левая часть равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: $0 = 0$.

3)

Преобразуем левую часть тождества: $\frac{\tg(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) \cdot \sin(4\pi - 2\alpha) \cdot \cos(-2\alpha)}{\ctg(6\pi - 4\alpha) \cdot (\cos^2 2\alpha - \cos^2(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha))} - 0,5\tg4\alpha$.

Упростим числитель дроби, используя формулы приведения, периодичность и четность функций:

$\tg(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = \ctg(4\alpha)$.

$\sin(4\pi - 2\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin(2\alpha)$.

$\cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha)$.

Числитель: $\ctg(4\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot \cos(2\alpha) = -\ctg(4\alpha) \cdot (\sin(2\alpha)\cos(2\alpha))$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$, получаем $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha)$.

Числитель: $-\frac{\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} \cdot \frac{1}{2}\sin(4\alpha) = -\frac{1}{2}\cos(4\alpha)$.

Упростим знаменатель дроби:

$\ctg(6\pi - 4\alpha) = \ctg(-4\alpha) = -\ctg(4\alpha)$.

Выражение в скобках: $\cos^2 2\alpha - \cos^2(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)$.

$\cos(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$, значит $\cos^2(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = \sin^2(2\alpha)$.

Скобки: $\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(4\alpha)$ (формула косинуса двойного угла).

Знаменатель: $-\ctg(4\alpha) \cdot \cos(4\alpha)$.

Теперь упростим всю дробь:

$\frac{-\frac{1}{2}\cos(4\alpha)}{-\ctg(4\alpha) \cdot \cos(4\alpha)} = \frac{\frac{1}{2}}{\ctg(4\alpha)} = \frac{1}{2}\tg(4\alpha) = 0,5\tg(4\alpha)$.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

$0,5\tg(4\alpha) - 0,5\tg(4\alpha) = 0$.

Левая часть равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: $0 = 0$.