Номер 1.15, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.15. Вычислите неопределенный интеграл:

1) $\int(\cos (4x - 5) + 2x^{-7} + 3) dx;$

2) $\int(\sin(2 - x) + \frac{1}{\cos^2 5x}) dx;$

3) $\int(\frac{24}{\cos^2 2x} - \frac{2}{x^4} + \sqrt{3}) dx;$

4) $\int(\frac{1}{\sqrt{2x}} - \frac{3}{\sin^2 2x} - x) dx.$

1) Для вычисления данного неопределенного интеграла $\int(\cos(4x - 5) + 2x^{-7} + 3) dx$ воспользуемся свойством линейности интеграла, то есть представим его в виде суммы интегралов от каждого слагаемого:

$\int(\cos(4x - 5) + 2x^{-7} + 3) dx = \int \cos(4x - 5) dx + \int 2x^{-7} dx + \int 3 dx$.

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу основных интегралов:

- Для первого слагаемого используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$. В данном случае $k=4$, $b=-5$, поэтому $\int \cos(4x - 5) dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 5)$.

- Для второго слагаемого выносим константу за знак интеграла и используем формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $n=-7$, поэтому $\int 2x^{-7} dx = 2\int x^{-7} dx = 2 \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} = 2 \cdot \frac{x^{-6}}{-6} = -\frac{1}{3}x^{-6}$.

- Интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную интегрирования: $\int 3 dx = 3x$.

Суммируем полученные результаты и добавляем общую константу интегрирования $C$.

Ответ: $\frac{1}{4}\sin(4x - 5) - \frac{1}{3}x^{-6} + 3x + C$.

2) Интеграл $\int(\sin(2 - x) + \frac{1}{\cos^2 5x}) dx$ также вычисляем, разбив его на сумму двух интегралов:

$\int \sin(2 - x) dx + \int \frac{1}{\cos^2 5x} dx$.

Вычислим каждый из них:

- Для первого интеграла используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$. Здесь $k=-1$, $b=2$, поэтому $\int \sin(2 - x) dx = -\frac{1}{-1}\cos(2 - x) = \cos(2 - x)$.

- Для второго интеграла используем формулу $\int \frac{1}{\cos^2(kx)}dx = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$. Здесь $k=5$, поэтому $\int \frac{1}{\cos^2 5x} dx = \frac{1}{5}\tan(5x)$.

Складываем полученные результаты и добавляем константу интегрирования $C$.

Ответ: $\cos(2 - x) + \frac{1}{5}\tan(5x) + C$.

3) Для вычисления интеграла $\int(\frac{24}{\cos^2 2x} - \frac{2}{x^4} + \sqrt{3}) dx$ разобьем его на три интеграла:

$\int \frac{24}{\cos^2 2x} dx - \int \frac{2}{x^4} dx + \int \sqrt{3} dx = 24\int \frac{1}{\cos^2 2x} dx - 2\int x^{-4} dx + \sqrt{3}\int dx$.

Вычислим каждый по отдельности:

- Первый интеграл: $24\int \frac{1}{\cos^2 2x} dx$. По формуле $\int \frac{1}{\cos^2(kx)}dx = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$ с $k=2$ получаем $24 \cdot \frac{1}{2}\tan(2x) = 12\tan(2x)$.

- Второй интеграл: $-2\int x^{-4} dx$. По формуле для степенной функции с $n=-4$ получаем $-2 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = -2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = \frac{2}{3}x^{-3} = \frac{2}{3x^3}$.

- Третий интеграл: $\sqrt{3}\int dx = \sqrt{3}x$.

Объединяем результаты и добавляем константу $C$.

Ответ: $12\tan(2x) + \frac{2}{3x^3} + \sqrt{3}x + C$.

4) Интеграл $\int(\frac{1}{\sqrt{2x}} - \frac{3}{\sin^2 2x} - x) dx$ вычисляем, разбив его на три части:

$\int \frac{1}{\sqrt{2x}} dx - \int \frac{3}{\sin^2 2x} dx - \int x dx$.

Вычислим каждый интеграл:

- Первый интеграл: $\int \frac{1}{\sqrt{2x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\int x^{-1/2} dx$. По степенной формуле с $n=-1/2$ имеем $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{x} = \sqrt{2}\sqrt{x} = \sqrt{2x}$.

- Второй интеграл: $-\int \frac{3}{\sin^2 2x} dx = -3\int \frac{1}{\sin^2 2x} dx$. По формуле $\int \frac{1}{\sin^2(kx)}dx = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$ с $k=2$ получаем $-3 \cdot (-\frac{1}{2}\cot(2x)) = \frac{3}{2}\cot(2x)$.

- Третий интеграл: $-\int x dx = -\frac{x^2}{2}$.

Суммируем все части и добавляем константу интегрирования $C$.

Ответ: $\sqrt{2x} + \frac{3}{2}\cot(2x) - \frac{x^2}{2} + C$.