Номер 1.8, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.8. Найдите общий вид первообразных для функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 9x^2 + \sin 3x$;

2) $f(x) = 12x^3 - \cos 4x$;

3) $f(x) = \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2x-3}} + 2$;

4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5-2x}} + \sin 5x + 1$.

1) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = 9x^2 + \sin(3x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных. Обозначим искомую первообразную как $F(x)$.

$F(x) = \int (9x^2 + \sin(3x)) dx = \int 9x^2 dx + \int \sin(3x) dx$.

Для нахождения интегралов воспользуемся табличными значениями:

Для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 9x^2 dx = 9 \cdot \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$.

Для синуса сложного аргумента $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

$\int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

Суммируя полученные результаты и добавляя одну общую константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразных:

Ответ: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{3}\cos(3x) + C$.

2) Для функции $f(x) = 12x^3 - \cos(4x)$ общий вид первообразных $F(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (12x^3 - \cos(4x)) dx = \int 12x^3 dx - \int \cos(4x) dx$.

Используем табличные интегралы:

Для степенной функции $\int 12x^3 dx = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$.

Для косинуса сложного аргумента $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.

$\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Объединяя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:

Ответ: $F(x) = 3x^4 - \frac{1}{4}\sin(4x) + C$.

3) Для функции $f(x) = \cos(2x) - \frac{1}{\sqrt{2x-3}} + 2$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.

$F(x) = \int (\cos(2x) - \frac{1}{\sqrt{2x-3}} + 2) dx = \int \cos(2x) dx - \int (2x-3)^{-1/2} dx + \int 2 dx$.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Для второго слагаемого используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (2x-3)^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^{1/2}}{1/2} = \sqrt{2x-3}$.

$\int 2 dx = 2x$.

Собираем все части вместе с константой $C$:

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) - \sqrt{2x-3} + 2x + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5-2x}} + \sin(5x) + 1$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.

$F(x) = \int (\frac{1}{\sqrt{5-2x}} + \sin(5x) + 1) dx = \int (5-2x)^{-1/2} dx + \int \sin(5x) dx + \int 1 dx$.

Интегрируем каждое слагаемое:

Для первого слагаемого используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (5-2x)^{-1/2} dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(5-2x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(5-2x)^{1/2}}{1/2} = -\sqrt{5-2x}$.

$\int \sin(5x) dx = -\frac{1}{5}\cos(5x)$.

$\int 1 dx = x$.

Суммируем результаты и добавляем константу $C$:

Ответ: $F(x) = -\sqrt{5-2x} - \frac{1}{5}\cos(5x) + x + C$.