Номер 1.7, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.7. Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x):

1) $f(x) = 3x^2 + 3\sin x$, $F(x) = x^3 - 3\cos x$;

2) $f(x) = x^4 + 4\cos x$, $F(x) = 0.2x^5 + 4\sin x$.

1)

Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо показать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Даны функции: $f(x) = 3x^2 + 3\sin x$ и $F(x) = x^3 - 3\cos x$.

Найдем производную функции $F(x)$. Используем правила дифференцирования:

1. Производная разности: $(u-v)' = u' - v'$.

2. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

3. Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

4. Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

$F'(x) = (x^3 - 3\cos x)' = (x^3)' - (3\cos x)' = 3x^{3-1} - 3(-\sin x) = 3x^2 + 3\sin x$.

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 3x^2 + 3\sin x$

$f(x) = 3x^2 + 3\sin x$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Аналогично, докажем утверждение для второй пары функций. Необходимо показать, что $F'(x) = f(x)$.

Даны функции: $f(x) = x^4 + 4\cos x$ и $F(x) = 0.2x^5 + 4\sin x$.

Найдем производную функции $F(x)$. Используем правила дифференцирования:

1. Производная суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

2. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

3. Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

4. Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

$F'(x) = (0.2x^5 + 4\sin x)' = (0.2x^5)' + (4\sin x)' = 0.2 \cdot 5x^{5-1} + 4\cos x = 1 \cdot x^4 + 4\cos x = x^4 + 4\cos x$.

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = x^4 + 4\cos x$

$f(x) = x^4 + 4\cos x$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.