Номер 1.3, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.3. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int \left(3x^5 + \frac{7}{2\sqrt{x}}\right) dx;$

2) $\int \left(3\cos 5x - \frac{1}{x^2}\right) dx;$

3) $\int \left(8\sin x - \frac{2}{\sin^2 2x}\right) dx;$

4) $\int \left(2\sin 3x - 5x^7 + 3\right) dx;$

5) $\int \left(\frac{3}{x^7} - \frac{7}{\cos^2 x}\right) dx;$

6) $\int \left(7 - \frac{5}{\sin^2 x}\right) dx.$

1) Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и таблицей основных интегралов.

$\int(3x^5 + \frac{7}{2\sqrt{x}})dx = \int 3x^5 dx + \int \frac{7}{2\sqrt{x}} dx$

Вынесем постоянные множители за знак интеграла:

$3 \int x^5 dx + \frac{7}{2} \int x^{-1/2} dx$

Применяем формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^6}{6} + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^6}{2} + 7x^{1/2} + C = \frac{x^6}{2} + 7\sqrt{x} + C$

Ответ: $\frac{x^6}{2} + 7\sqrt{x} + C$

2) Разобьем интеграл на два и вынесем постоянные множители:

$\int(3\cos 5x - \frac{1}{x^2})dx = \int 3\cos 5x dx - \int \frac{1}{x^2} dx = 3\int \cos 5x dx - \int x^{-2} dx$

Используем табличные интегралы $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$3 \cdot \frac{1}{5}\sin 5x - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{3}{5}\sin 5x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{3}{5}\sin 5x + \frac{1}{x} + C$

Ответ: $\frac{3}{5}\sin 5x + \frac{1}{x} + C$

3) Используем свойство линейности интеграла:

$\int(8\sin x - \frac{2}{\sin^2 2x})dx = \int 8\sin x dx - \int \frac{2}{\sin^2 2x} dx = 8\int \sin x dx - 2\int \frac{1}{\sin^2 2x} dx$

Применяем табличные интегралы $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} dx = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$:

$8(-\cos x) - 2(-\frac{1}{2}\cot 2x) + C = -8\cos x + \cot 2x + C$

Ответ: $-8\cos x + \cot 2x + C$

4) Разобьем интеграл на сумму интегралов:

$\int(2\sin 3x - 5x^7 + 3)dx = \int 2\sin 3x dx - \int 5x^7 dx + \int 3 dx$

Выносим константы и интегрируем каждое слагаемое по отдельности, используя табличные формулы:

$2\int \sin 3x dx - 5\int x^7 dx + 3\int dx = 2(-\frac{1}{3}\cos 3x) - 5\frac{x^8}{8} + 3x + C = -\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{5}{8}x^8 + 3x + C$

Ответ: $-\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{5}{8}x^8 + 3x + C$

5) Разделим интеграл на два и представим первое слагаемое в виде степени:

$\int(\frac{3}{x^7} - \frac{7}{\cos^2 x})dx = \int 3x^{-7} dx - \int \frac{7}{\cos^2 x} dx = 3\int x^{-7} dx - 7\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Применяем табличные интегралы $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$:

$3 \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} - 7\tan x + C = 3 \cdot \frac{x^{-6}}{-6} - 7\tan x + C = -\frac{1}{2}x^{-6} - 7\tan x + C = -\frac{1}{2x^6} - 7\tan x + C$

Ответ: $-\frac{1}{2x^6} - 7\tan x + C$

6) Используем свойство линейности интеграла:

$\int(7 - \frac{5}{\sin^2 x})dx = \int 7 dx - \int \frac{5}{\sin^2 x} dx = 7\int dx - 5\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

Используем табличные интегралы $\int k dx = kx + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$:

$7x - 5(-\cot x) + C = 7x + 5\cot x + C$

Ответ: $7x + 5\cot x + C$