Номер 1.1, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите первообразные следующих функций (1.1-1.2):

1.1.1) $f(x) = 3x;$

2) $f(x) = 4x^2 + x - 2;$

3) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 1;$

4) $f(x) = \frac{1}{x^2}.$

1.1.1) 1) Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = 3x$, мы используем основное правило интегрирования степенной функции: первообразная для $x^n$ есть $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

В нашем случае, функция $f(x) = 3x = 3x^1$, где коэффициент равен 3, а степень $n=1$.

Первообразная $F(x)$ находится по формуле:

$F(x) = \int 3x \,dx = 3 \int x^1 \,dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{3}{2}x^2 + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^2 + C$.

2) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 4x^2 + x - 2$ мы воспользуемся правилом интегрирования суммы/разности функций, которое гласит, что первообразная суммы/разности равна сумме/разности первообразных. Мы найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности.

1. Для $4x^2$: используя правило для степенной функции, где $n=2$, первообразная равна $4 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{4x^3}{3}$.

2. Для $x$: здесь $x = x^1$, так что $n=1$. Первообразная равна $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

3. Для $-2$: это константа. Первообразная для константы $k$ равна $kx$. Значит, для $-2$ первообразная равна $-2x$.

Теперь сложим все полученные первообразные и добавим общую константу интегрирования $C$:

$F(x) = \frac{4}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{4}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C$.

3) Функция задана как $f(x) = \frac{x^3}{3} + 1$. Это сумма двух слагаемых: $\frac{1}{3}x^3$ и $1$. Найдем первообразную для каждого из них.

1. Для $\frac{1}{3}x^3$: по правилу для степенной функции ($n=3$), первообразная равна $\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{12}$.

2. Для $1$: это константа, ее первообразная равна $1 \cdot x = x$.

Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = \frac{x^4}{12} + x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{12} + x + C$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$. Для нахождения ее первообразной удобно представить ее в виде степени с отрицательным показателем: $f(x) = x^{-2}$.

Теперь мы можем применить правило интегрирования степенной функции для $n=-2$:

$F(x) = \int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$.

Выполним вычисления в показателе и знаменателе:

$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C$.

Вернемся к записи в виде дроби:

$F(x) = -\frac{1}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + C$.