Номер 45, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

45. A, B, C — разные нечетные цифры. Известно, что $\overline{ABC} \cdot \overline{ABC} = 32041$.

Найдите значение выражения $(C+B) : (4A)$.

В условии задачи сказано, что $A, B, C$ — это разные нечетные цифры. Список нечетных цифр: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Также дано равенство $\overline{ABC} \cdot \overline{ABC} = 32041$, которое можно записать в виде $(\overline{ABC})^2 = 32041$.

Первым шагом найдем трехзначное число $\overline{ABC}$, извлекши квадратный корень из 32041.

$\overline{ABC} = \sqrt{32041}$.

Чтобы упростить поиск, оценим примерное значение корня. Мы знаем, что $100^2 = 10000$ и $200^2 = 40000$. Так как $10000 < 32041 < 40000$, то искомое число $\overline{ABC}$ находится в интервале от 100 до 200. Это означает, что его первая цифра, $A$, должна быть 1.

Далее определим последнюю цифру числа, $C$. Число 32041 оканчивается на 1. Это возможно только в том случае, если квадрат последней цифры числа $\overline{ABC}$ также оканчивается на 1. Проверим квадраты нечетных цифр: $1^2=1$, $3^2=9$, $5^2=25$, $7^2=49$, $9^2=81$. Из этого следует, что $C$ может быть либо 1, либо 9. По условию, цифры $A, B, C$ должны быть разными. Поскольку $A=1$, то $C$ не может быть равно 1. Таким образом, $C=9$.

Теперь мы знаем, что $A=1$ и $C=9$. Искомое число имеет вид $\overline{1B9}$. Цифра $B$ должна быть нечетной и не равной 1 или 9. Следовательно, для $B$ остаются варианты 3, 5 или 7. Проверим каждый из них:

1. Если $B=3$, то число равно 139. Проверяем: $139^2 = 19321$, что не равно 32041.

2. Если $B=5$, то число равно 159. Проверяем: $159^2 = 25281$, что не равно 32041.

3. Если $B=7$, то число равно 179. Проверяем: $179^2 = 32041$. Этот вариант является верным.

Таким образом, мы определили, что $A=1, B=7, C=9$. Эти цифры являются различными и нечетными, что полностью соответствует условиям задачи.

Последний шаг — вычислить значение выражения $(C + B) : (4A)$. Подставим найденные значения цифр:

$(9 + 7) : (4 \cdot 1) = 16 : 4 = 4$.

Ответ: 4