Номер 40, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

40. 1) В ящике находятся 4 шара зеленого цвета и 2 желтого. Извлекаются два шара. Найдите вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется два шара зеленого цвета.

2) При изготовлении детали совершается три операции. Вероятность брака при первой и второй операциях равна 0,01, а при третьей — 0,02. Найдите вероятность того, что после трех операций деталь окажется стандартной.

1)

Для решения данной задачи мы можем использовать классическое определение вероятности или теорему умножения вероятностей.

Способ 1: Классическое определение вероятности.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Всего в ящике $4 + 2 = 6$ шаров. Нам нужно найти общее число способов извлечь 2 шара из 6. Это число сочетаний из 6 по 2:

$n = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Таким образом, существует 15 способов извлечь два шара из ящика.

Теперь найдем число благоприятных исходов, то есть количество способов извлечь 2 зеленых шара из 4 имеющихся. Это число сочетаний из 4 по 2:

$m = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся зелеными, равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Способ 2: Теорема умножения вероятностей.

Найдем вероятность того, что первый извлеченный шар — зеленый. В ящике 4 зеленых шара из 6. Вероятность этого события:

$P_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

После того, как извлекли один зеленый шар, в ящике осталось 5 шаров, из которых 3 зеленых. Вероятность того, что второй извлеченный шар также будет зеленым (при условии, что первый был зеленым):

$P_2 = \frac{3}{5}$.

Вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятностей этих событий:

$P = P_1 \cdot P_2 = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: 0,4

2)

Чтобы деталь оказалась стандартной, она не должна иметь брака ни на одной из трех операций. Предполагается, что результаты операций являются независимыми событиями.

Найдем вероятность того, что деталь будет стандартной (не бракованной) после каждой операции. Это событие, противоположное браку.

Вероятность брака при первой операции $P_{б1} = 0,01$.Вероятность отсутствия брака при первой операции:$P_{с1} = 1 - P_{б1} = 1 - 0,01 = 0,99$.

Вероятность брака при второй операции $P_{б2} = 0,01$.Вероятность отсутствия брака при второй операции:$P_{с2} = 1 - P_{б2} = 1 - 0,01 = 0,99$.

Вероятность брака при третьей операции $P_{б3} = 0,02$.Вероятность отсутствия брака при третьей операции:$P_{с3} = 1 - P_{б3} = 1 - 0,02 = 0,98$.

Вероятность того, что деталь будет стандартной после всех трех операций, равна произведению вероятностей отсутствия брака на каждой из операций, так как эти события независимы:

$P_{стандарт} = P_{с1} \cdot P_{с2} \cdot P_{с3} = 0,99 \cdot 0,99 \cdot 0,98$.

Вычислим это значение:

$0,99 \cdot 0,99 = 0,9801$.

$0,9801 \cdot 0,98 = 0,960498$.

Ответ: 0,960498