Страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

37. 1) В меню школьной столовой имеется 3 первых, 3 вторых и 4 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из трех блюд (первое, второе и третье)?

2) Найдите число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 3, 6, 9, при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды?

3) Найдите число способов раскрасить треугольник, ромб и квадрат тремя цветами: желтым, красным, черным.

1) Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. У нас есть три независимых выбора: выбор первого, второго и третьего блюда.

Количество способов выбрать первое блюдо: 3.

Количество способов выбрать второе блюдо: 3.

Количество способов выбрать третье блюдо: 4.

Чтобы найти общее количество способов составить обед из трех блюд, нужно перемножить количество вариантов для каждого блюда:

$N = 3 \times 3 \times 4 = 36$

Таким образом, существует 36 различных способов выбрать обед.

Ответ: 36 способов.

2) Необходимо найти количество четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 3, 6, 9 без повторений. Это задача на нахождение числа перестановок из 4 элементов.

Для первой цифры числа есть 4 варианта (любая из предложенных цифр).

После выбора первой цифры, для второй останется 3 варианта (так как цифры не должны повторяться).

Для третьей цифры останется 2 варианта.

Для четвертой цифры останется только 1 вариант.

Общее число таких чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции, что равно факториалу числа 4:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, можно составить 24 различных четырехзначных числа.

Ответ: 24 числа.

3) У нас есть три различные фигуры (треугольник, ромб, квадрат) и три цвета (желтый, красный, черный). Каждую фигуру можно раскрасить в любой из трех цветов.

Для раскраски треугольника есть 3 варианта цвета.

Для раскраски ромба также есть 3 варианта цвета (поскольку нет условия, что цвета не могут повторяться).

Для раскраски квадрата также есть 3 варианта цвета.

По правилу умножения, общее число способов раскрасить три фигуры равно произведению числа вариантов для каждой фигуры:

$N = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$

Таким образом, существует 27 способов раскрасить фигуры.

Ответ: 27 способов.

38. Найдите корни уравнения:

1) $A_{2x+1}^x : A_{2x}^{x-1} = 31;$

2) $C_x^2 : A_x^3 = \frac{1}{24};$

1) $A_{2x+1}^x : A_{2x}^{x-1} = 31$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для выражений $A_n^k$ должны выполняться условия: $n, k$ — целые неотрицательные числа и $n \ge k$.

Для $A_{2x+1}^x$ имеем:

1. $x \ge 0$

2. $2x+1 \ge x \implies x \ge -1$

Для $A_{2x}^{x-1}$ имеем:

1. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2. $2x \ge x-1 \implies x \ge -1$

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должно быть целым числом и $x \ge 1$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Запишем отношение как дробь:

$\frac{A_{2x+1}^x}{A_{2x}^{x-1}} = 31$

Применим формулу размещений к числителю и знаменателю:

$A_{2x+1}^x = \frac{(2x+1)!}{(2x+1-x)!} = \frac{(2x+1)!}{(x+1)!}$

$A_{2x}^{x-1} = \frac{(2x)!}{(2x-(x-1))!} = \frac{(2x)!}{(2x-x+1)!} = \frac{(2x)!}{(x+1)!}$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$\frac{\frac{(2x+1)!}{(x+1)!}}{\frac{(2x)!}{(x+1)!}} = 31$

Сократим дробь на общий множитель $\frac{1}{(x+1)!}$:

$\frac{(2x+1)!}{(2x)!} = 31$

Воспользуемся свойством факториала $n! = n \cdot (n-1)!$. Для числителя это будет $(2x+1)! = (2x+1) \cdot (2x)!$.

$\frac{(2x+1) \cdot (2x)!}{(2x)!} = 31$

Сократим на $(2x)!$:

$2x+1 = 31$

$2x = 30$

$x = 15$

Найденный корень $x=15$ удовлетворяет ОДЗ ($15 \ge 1$).

Ответ: 15

2) $C_x^2 : A_x^3 = \frac{1}{24}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Определим ОДЗ.

Для $C_x^2$ необходимо выполнение условий: $x$ — целое, $x \ge 2$.

Для $A_x^3$ необходимо выполнение условий: $x$ — целое, $x \ge 3$.

Общая ОДЗ: $x$ — целое число и $x \ge 3$.

Запишем уравнение в виде дроби:

$\frac{C_x^2}{A_x^3} = \frac{1}{24}$

Распишем числитель и знаменатель по формулам:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

$A_x^3 = \frac{x!}{(x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!} = x(x-1)(x-2)$

Подставим в уравнение:

$\frac{\frac{x(x-1)}{2}}{x(x-1)(x-2)} = \frac{1}{24}$

Упростим левую часть:

$\frac{x(x-1)}{2 \cdot x(x-1)(x-2)} = \frac{1}{24}$

Согласно ОДЗ, $x \ge 3$, поэтому $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Значит, мы можем сократить дробь на $x(x-1)$:

$\frac{1}{2(x-2)} = \frac{1}{24}$

Из равенства дробей следует равенство их знаменателей:

$2(x-2) = 24$

$x-2 = 12$

$x = 14$

Найденный корень $x=14$ удовлетворяет ОДЗ ($14 \ge 3$).

Ответ: 14

39. Найдите коэффициент при $x^n$ в разложении бинома Ньютона:

1) $(x + 3)^6, n = 3;$

2) $(1 - 3x)^7, n = 4.$

1) Для нахождения коэффициента при $x^n$ в разложении бинома Ньютона $(a+b)^k$ используется формула общего члена разложения: $T_{m+1} = C_k^m a^{k-m} b^m$, где $C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном случае нам нужно найти коэффициент при $x^3$ в разложении $(x+3)^6$.

Здесь $a = x$, $b = 3$, $k = 6$. Общий член разложения имеет вид: $T_{m+1} = C_6^m x^{6-m} 3^m$.

Нам нужен член, содержащий $x^3$. Это означает, что степень $x$ должна быть равна 3:

$6 - m = 3$

$m = 3$

Теперь подставим $m=3$ в формулу общего члена, чтобы найти искомый член разложения:

$T_{3+1} = T_4 = C_6^3 x^{6-3} 3^3 = C_6^3 x^3 3^3$.

Коэффициент при $x^3$ равен $C_6^3 \cdot 3^3$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^3$:

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Теперь вычислим искомый коэффициент:

Коэффициент = $20 \cdot 3^3 = 20 \cdot 27 = 540$.

Ответ: 540.

2) Используем ту же формулу общего члена разложения бинома Ньютона: $T_{m+1} = C_k^m a^{k-m} b^m$.

Нам нужно найти коэффициент при $x^4$ в разложении $(1-3x)^7$.

Здесь $a = 1$, $b = -3x$, $k = 7$. Общий член разложения имеет вид:

$T_{m+1} = C_7^m (1)^{7-m} (-3x)^m = C_7^m (-3)^m x^m$.

Нам нужен член, содержащий $x^4$. Это означает, что степень $x$ должна быть равна 4:

$m = 4$

Подставим $m=4$ в формулу общего члена:

$T_{4+1} = T_5 = C_7^4 (-3)^4 x^4$.

Коэффициент при $x^4$ равен $C_7^4 \cdot (-3)^4$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_7^4$:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Теперь вычислим искомый коэффициент:

Коэффициент = $35 \cdot (-3)^4 = 35 \cdot 81 = 2835$.

Ответ: 2835.

40. 1) В ящике находятся 4 шара зеленого цвета и 2 желтого. Извлекаются два шара. Найдите вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется два шара зеленого цвета.

2) При изготовлении детали совершается три операции. Вероятность брака при первой и второй операциях равна 0,01, а при третьей — 0,02. Найдите вероятность того, что после трех операций деталь окажется стандартной.

1)

Для решения данной задачи мы можем использовать классическое определение вероятности или теорему умножения вероятностей.

Способ 1: Классическое определение вероятности.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Всего в ящике $4 + 2 = 6$ шаров. Нам нужно найти общее число способов извлечь 2 шара из 6. Это число сочетаний из 6 по 2:

$n = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Таким образом, существует 15 способов извлечь два шара из ящика.

Теперь найдем число благоприятных исходов, то есть количество способов извлечь 2 зеленых шара из 4 имеющихся. Это число сочетаний из 4 по 2:

$m = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся зелеными, равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Способ 2: Теорема умножения вероятностей.

Найдем вероятность того, что первый извлеченный шар — зеленый. В ящике 4 зеленых шара из 6. Вероятность этого события:

$P_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

После того, как извлекли один зеленый шар, в ящике осталось 5 шаров, из которых 3 зеленых. Вероятность того, что второй извлеченный шар также будет зеленым (при условии, что первый был зеленым):

$P_2 = \frac{3}{5}$.

Вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятностей этих событий:

$P = P_1 \cdot P_2 = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: 0,4

2)

Чтобы деталь оказалась стандартной, она не должна иметь брака ни на одной из трех операций. Предполагается, что результаты операций являются независимыми событиями.

Найдем вероятность того, что деталь будет стандартной (не бракованной) после каждой операции. Это событие, противоположное браку.

Вероятность брака при первой операции $P_{б1} = 0,01$.Вероятность отсутствия брака при первой операции:$P_{с1} = 1 - P_{б1} = 1 - 0,01 = 0,99$.

Вероятность брака при второй операции $P_{б2} = 0,01$.Вероятность отсутствия брака при второй операции:$P_{с2} = 1 - P_{б2} = 1 - 0,01 = 0,99$.

Вероятность брака при третьей операции $P_{б3} = 0,02$.Вероятность отсутствия брака при третьей операции:$P_{с3} = 1 - P_{б3} = 1 - 0,02 = 0,98$.

Вероятность того, что деталь будет стандартной после всех трех операций, равна произведению вероятностей отсутствия брака на каждой из операций, так как эти события независимы:

$P_{стандарт} = P_{с1} \cdot P_{с2} \cdot P_{с3} = 0,99 \cdot 0,99 \cdot 0,98$.

Вычислим это значение:

$0,99 \cdot 0,99 = 0,9801$.

$0,9801 \cdot 0,98 = 0,960498$.

Ответ: 0,960498

41. Среди 200 лотерейных билетов есть 10 выигрышных.

1) Найдите вероятность того, что три наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

2) Найдите вероятность того, что из двух наудачу выбранных билетов только один окажется выигрышным.

1) Найдите вероятность того, что три наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

В лотерее всего 200 билетов. Нам нужно найти общее число способов выбрать 3 билета из 200. Это число сочетаний из 200 по 3, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов $n$ равно:

$n = C_{200}^3 = \frac{200!}{3!(200-3)!} = \frac{200 \cdot 199 \cdot 198}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 100 \cdot 199 \cdot 66 = 1313400$.

Событие, вероятность которого мы ищем, — это выбор трех выигрышных билетов. Всего выигрышных билетов 10. Число благоприятных исходов $m$ — это количество способов выбрать 3 выигрышных билета из 10:

$m = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Теперь можем рассчитать вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{120}{1313400} = \frac{12}{131340} = \frac{1}{10945}$.

Ответ: $\frac{1}{10945}$.

2) Найдите вероятность того, что из двух наудачу выбранных билетов только один окажется выигрышным.

В этом случае нам нужно найти вероятность того, что из двух выбранных билетов один будет выигрышным, а второй — безвыигрышным. Количество безвыигрышных билетов составляет $200 - 10 = 190$.

Сначала определим общее число способов выбрать 2 билета из 200:

$n = C_{200}^2 = \frac{200!}{2!(200-2)!} = \frac{200 \cdot 199}{2} = 100 \cdot 199 = 19900$.

Число благоприятных исходов $m$ — это количество способов выбрать 1 выигрышный билет из 10 И 1 безвыигрышный билет из 190. По правилу произведения в комбинаторике, это число равно:

$m = C_{10}^1 \cdot C_{190}^1 = \frac{10!}{1!9!} \cdot \frac{190!}{1!189!} = 10 \cdot 190 = 1900$.

Теперь находим искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1900}{19900} = \frac{19}{199}$.

Ответ: $\frac{19}{199}$.

42. В таблице 1 представлены результаты забега на дистанции 200 м среди учащихся 11 классов.

Таблица 1

Интервалы результата забега (в секундах): 24 - 25, 26 - 27, 28 - 29, 30 - 31, 32 - 33

Число учащихся, показавших результаты: 4, 9, 11, 10, 6

1) Сколько учащихся участвовало в соревновании?

2) В каких пределах изменяются результаты забега?

3) У скольких учащихся показатели составят от 28 с до 33 с?

4) Сколько участников забега имеют результаты не более 27 с?

1) Сколько учащихся участвовало в соревновании?

Чтобы найти общее количество участников соревнования, необходимо сложить количество учащихся из всех представленных в таблице интервалов. В таблице указано число учащихся для каждого интервала результатов: 4, 9, 11, 10 и 6.

Суммируем эти значения: $4 + 9 + 11 + 10 + 6 = 40$.

Таким образом, в соревновании участвовало 40 учащихся.

Ответ: 40 учащихся.

2) В каких пределах изменяются результаты забега?

Чтобы определить пределы, в которых изменяются результаты забега, нужно найти минимальное и максимальное время, указанное в таблице. Первый интервал начинается с 24 секунд, а последний заканчивается 33 секундами. Следовательно, все результаты забега находятся в диапазоне от 24 до 33 секунд включительно.

Ответ: от 24 с до 33 с.

3) У скольких учащихся показатели составят от 28 с до 33 с?

Чтобы найти количество учащихся с результатами в диапазоне от 28 до 33 секунд, нужно сложить количество учащихся из интервалов "28-29", "30-31" и "32-33".

Согласно таблице, количество учащихся в этих интервалах составляет 11, 10 и 6 соответственно.

Суммируем эти числа: $11 + 10 + 6 = 27$.

Таким образом, у 27 учащихся показатели составили от 28 с до 33 с.

Ответ: 27 учащихся.

4) Сколько участников забега имеют результаты не более 27 с?

Фраза "не более 27 с" означает, что результат равен 27 секундам или меньше. В таблице этому условию соответствуют два интервала: "24-25" и "26-27".

Количество учащихся в интервале "24-25" равно 4.

Количество учащихся в интервале "26-27" равно 9.

Складываем количество участников из этих двух групп: $4 + 9 = 13$.

Следовательно, 13 участников имеют результаты не более 27 с.

Ответ: 13 участников.

43. Для строительства коттеджа требуется закупить 25 т облицовочного кирпича у одного из трех поставщиков. Вес одного кирпича — 5 кг.

Цены и условия доставки приведены в таблице 2.

1) Во сколько тенге обойдется наиболее дешевый вариант покупки?

2) Если подрядчик решил приобрести 30 т облицовочного кирпича, то к какой фирме ему следует обратиться, чтобы иметь меньшие затраты?

1) Во сколько тенге обойдется наиболее дешевый вариант покупки?

Для решения задачи сначала определим необходимое количество кирпичей.

Общий вес кирпича: $25 \text{ т} = 25 \times 1000 = 25000 \text{ кг}$.

Вес одного кирпича: $5 \text{ кг}$.

Необходимое количество кирпичей: $25000 \text{ кг} \div 5 \text{ кг/шт.} = 5000 \text{ шт}$.

Теперь рассчитаем общую стоимость покупки (стоимость кирпича + стоимость доставки) для каждой фирмы.

Фирма X:

Стоимость кирпича: $5000 \text{ шт.} \times 254 \text{ тг/шт.} = 1\;270\;000 \text{ тг}$.

Стоимость доставки: $190\;000 \text{ тг}$.

Общая стоимость: $1\;270\;000 + 190\;000 = 1\;460\;000 \text{ тг}$.

Фирма Y:

Стоимость кирпича: $5000 \text{ шт.} \times 260 \text{ тг/шт.} = 1\;300\;000 \text{ тг}$.

Стоимость заказа ($1\;300\;000 \text{ тг}$) превышает $500\;000 \text{ тг}$, поэтому на доставку предоставляется скидка 10%.

Стоимость доставки со скидкой: $150\;000 \text{ тг} \times (1 - 0.1) = 150\;000 \times 0.9 = 135\;000 \text{ тг}$.

Общая стоимость: $1\;300\;000 + 135\;000 = 1\;435\;000 \text{ тг}$.

Фирма Z:

Стоимость кирпича: $5000 \text{ шт.} \times 270 \text{ тг/шт.} = 1\;350\;000 \text{ тг}$.

Стоимость заказа ($1\;350\;000 \text{ тг}$) превышает $500\;000 \text{ тг}$, поэтому на доставку предоставляется скидка 20%.

Стоимость доставки со скидкой: $145\;000 \text{ тг} \times (1 - 0.2) = 145\;000 \times 0.8 = 116\;000 \text{ тг}$.

Общая стоимость: $1\;350\;000 + 116\;000 = 1\;466\;000 \text{ тг}$.

Сравним полученные результаты:

Фирма X: $1\;460\;000 \text{ тг}$.

Фирма Y: $1\;435\;000 \text{ тг}$.

Фирма Z: $1\;466\;000 \text{ тг}$.

Наиболее дешевый вариант предлагает фирма Y.

Ответ: $1\;435\;000$ тенге.

2) Если подрядчик решил приобрести 30 т облицовочного кирпича, то к какой фирме ему следует обратиться, чтобы иметь меньшие затраты?

Сначала найдем необходимое количество кирпичей для 30 тонн.

Общий вес кирпича: $30 \text{ т} = 30 \times 1000 = 30000 \text{ кг}$.

Необходимое количество кирпичей: $30000 \text{ кг} \div 5 \text{ кг/шт.} = 6000 \text{ шт}$.

Теперь рассчитаем общую стоимость покупки для каждой фирмы.

Фирма X:

Стоимость кирпича: $6000 \text{ шт.} \times 254 \text{ тг/шт.} = 1\;524\;000 \text{ тг}$.

Стоимость доставки: $190\;000 \text{ тг}$.

Общая стоимость: $1\;524\;000 + 190\;000 = 1\;714\;000 \text{ тг}$.

Фирма Y:

Стоимость кирпича: $6000 \text{ шт.} \times 260 \text{ тг/шт.} = 1\;560\;000 \text{ тг}$.

Стоимость заказа ($1\;560\;000 \text{ тг}$) превышает $500\;000 \text{ тг}$, поэтому действует скидка на доставку 10%.

Стоимость доставки со скидкой: $150\;000 \text{ тг} \times 0.9 = 135\;000 \text{ тг}$.

Общая стоимость: $1\;560\;000 + 135\;000 = 1\;695\;000 \text{ тг}$.

Фирма Z:

Стоимость кирпича: $6000 \text{ шт.} \times 270 \text{ тг/шт.} = 1\;620\;000 \text{ тг}$.

Стоимость заказа ($1\;620\;000 \text{ тг}$) превышает $500\;000 \text{ тг}$, поэтому действует скидка на доставку 20%.

Стоимость доставки со скидкой: $145\;000 \text{ тг} \times 0.8 = 116\;000 \text{ тг}$.

Общая стоимость: $1\;620\;000 + 116\;000 = 1\;736\;000 \text{ тг}$.

Сравним общие затраты для покупки 30 т кирпича:

Фирма X: $1\;714\;000 \text{ тг}$.

Фирма Y: $1\;695\;000 \text{ тг}$.

Фирма Z: $1\;736\;000 \text{ тг}$.

Наименьшие затраты будут при обращении в фирму Y.

Ответ: к фирме Y.