Страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15. Решите систему тригонометрических неравенств:

1) $\begin{cases} \sin x < \frac{1}{2}, \\ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \operatorname{ctg} x < 1, \\ \operatorname{tg} x > \frac{\sqrt{3}}{3}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \operatorname{tg} x < \sqrt{3}, \\ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$

1)

Решим первое неравенство $ \sin x < \frac{1}{2} $. На тригонометрической окружности этому неравенству соответствуют точки, ордината которых (значение синуса) меньше $ \frac{1}{2} $. Решением является множество $ x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решим второе неравенство $ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} $. На тригонометрической окружности этому неравенству соответствуют точки, абсцисса которых (значение косинуса) больше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Решением является множество $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Для нахождения решения системы найдем пересечение этих двух множеств. Удобно сделать это, отметив дуги на единичной окружности.

Дуга, соответствующая первому неравенству, начинается в точке $ \frac{5\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{6} $ (следующего оборота).

Дуга, соответствующая второму неравенству, идет от $ -\frac{\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{4} $.

Пересечением этих дуг будет дуга, идущая от $ -\frac{\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{6} $.

Таким образом, общее решение системы: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

2)

Рассмотрим систему $ \begin{cases} \cot x < 1 \\ \tan x > \frac{\sqrt{3}}{3} \end{cases} $.

Из второго неравенства $ \tan x > \frac{\sqrt{3}}{3} $ следует, что $ \tan x $ принимает только положительные значения.

Так как $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $, то при $ \tan x > 0 $ первое неравенство $ \cot x < 1 $ равносильно неравенству $ \frac{1}{\tan x} < 1 $, что, в свою очередь, эквивалентно $ \tan x > 1 $.

Таким образом, исходная система равносильна системе $ \begin{cases} \tan x > 1 \\ \tan x > \frac{\sqrt{3}}{3} \end{cases} $.

Поскольку $ 1 > \frac{\sqrt{3}}{3} $ (так как $ 1 > \frac{1.732...}{3} \approx 0.577 $), то решение системы сводится к решению одного, более сильного, неравенства $ \tan x > 1 $.

Решением неравенства $ \tan x > 1 $ является множество $ x \in (\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3)

Рассмотрим систему $ \begin{cases} \tan x < \sqrt{3} \\ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $.

Решением второго неравенства $ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} $ является интервал $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Проверим, выполняется ли на этом интервале первое неравенство $ \tan x < \sqrt{3} $.

Для любого $ x $ из интервала $ (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}) $, значения $ \tan x $ лежат в интервале $ (\tan(-\frac{\pi}{4}), \tan(\frac{\pi}{4})) $, то есть $ (-1, 1) $.

Так как $ 1 < \sqrt{3} $, то для всех $ x $, удовлетворяющих условию $ \tan x < 1 $, автоматически выполняется и условие $ \tan x < \sqrt{3} $.

Это означает, что любое решение второго неравенства является и решением первого. Таким образом, решение системы совпадает с решением второго неравенства.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

16. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = \frac{x-3}{x-2}$;

2) $y = \frac{5-3x}{x+3}$;

3) $y = \frac{x^2+3}{x-2}$;

4) $y = \frac{x^2-2x}{x+1}$.

1) $y = \frac{x-3}{x-2}$

Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты графика функции находятся в точках разрыва функции. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому точки разрыва - это нули знаменателя.

Приравняем знаменатель к нулю: $x-2 = 0$, откуда $x=2$.

Проверим, что числитель не обращается в ноль при $x=2$: $2-3 = -1 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Для нахождения горизонтальных или наклонных асимптот ($y=kx+b$) исследуем поведение функции при $x \to \pm\infty$.

Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны (обе равны 1), у графика есть горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет ($k=0$).

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид $y=b$, где $b = \lim_{x \to \infty} f(x)$.

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x-3}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=1$.

2) $y = \frac{5-3x}{x+3}$

Вертикальные асимптоты.

Находим нули знаменателя: $x+3 = 0$, откуда $x=-3$.

Значение числителя в этой точке: $5-3(-3) = 5+9 = 14 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x=-3$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Степени многочленов в числителе и знаменателе равны (1). Значит, существует горизонтальная асимптота. Ее уравнение равно отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \frac{-3}{1} = -3$.

Прямая $y=-3$ является горизонтальной асимптотой. Наклонной асимптоты нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-3$, горизонтальная асимптота $y=-3$.

3) $y = \frac{x^2+3}{x-2}$

Вертикальные асимптоты.

Находим нули знаменателя: $x-2=0$, откуда $x=2$.

Значение числителя в этой точке: $2^2+3 = 7 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

Поскольку степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя, существует наклонная асимптота вида $y=kx+b$.

Найдем коэффициенты $k$ и $b$ по формулам:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3}{x(x-2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3}{x^2-2x} = 1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+3}{x-2} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3 - x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3-x^2+2x}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x-2} = 2$.

Уравнение наклонной асимптоты: $y=x+2$.

Этот же результат можно получить, выделив целую часть дроби: $y = \frac{x^2-4+7}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)+7}{x-2} = x+2 + \frac{7}{x-2}$. При $x \to \infty$ дробь $\frac{7}{x-2} \to 0$, поэтому график функции приближается к прямой $y=x+2$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+2$.

4) $y = \frac{x^2-2x}{x+1}$

Вертикальные асимптоты.

Находим нули знаменателя: $x+1=0$, откуда $x=-1$.

Значение числителя в этой точке: $(-1)^2-2(-1) = 1+2 = 3 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому существует наклонная асимптота $y=kx+b$ и отсутствует горизонтальная асимптота.

Найдем коэффициенты $k$ и $b$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x}{x(x+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x}{x^2+x} = 1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2-2x}{x+1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x - x(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x-x^2-x}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x}{x+1} = -3$.

Уравнение наклонной асимптоты: $y=x-3$.

Альтернативный способ — деление многочленов: $y = \frac{x(x+1)-3x}{x+1} = \frac{x(x+1)-3(x+1)+3}{x+1} = x-3 + \frac{3}{x+1}$. При $x \to \infty$ график функции приближается к прямой $y=x-3$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-1$, наклонная асимптота $y=x-3$.

17. Найдите координаты точки перегиба графика функции:

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$;

2) $y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$;

3) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$;

4) $y = 4 - 3x + 2x^3$.

Для нахождения координат точки перегиба графика функции необходимо найти вторую производную функции, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Эти корни являются абсциссами возможных точек перегиба. Затем нужно проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через эти точки. Если знак меняется, то это действительно точка перегиба. Наконец, нужно найти ординату точки, подставив ее абсциссу в исходную функцию.

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$

1. Находим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 1$.

2. Находим первую производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(2x^3)'(x^2-1) - 2x^3(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{6x^2(x^2-1) - 2x^3(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x^4 - 6x^2 - 4x^4}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2-1)^2}$.

3. Находим вторую производную:

$y'' = \frac{(2x^4 - 6x^2)'(x^2-1)^2 - (2x^4-6x^2)((x^2-1)^2)'}{((x^2-1)^2)^2}$

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2-1)^2 - (2x^4-6x^2)(2(x^2-1) \cdot 2x)}{(x^2-1)^4}$

Сократим на $(x^2-1)$:

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2-1) - 4x(2x^4-6x^2)}{(x^2-1)^3} = \frac{8x^5 - 8x^3 - 12x^3 + 12x - 8x^5 + 24x^3}{(x^2-1)^3}$

$y'' = \frac{4x^3 + 12x}{(x^2-1)^3} = \frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.

4. Приравниваем вторую производную к нулю: $y'' = 0$.

$\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$4x(x^2+3) = 0$. Так как $x^2+3 > 0$ для любого $x$, то $x=0$.

5. Проверяем смену знака второй производной в точке $x=0$.

При $x \in (-1, 0)$, $y'' < 0$ (например, при $x=-0.5$, $y'' = \frac{4(-0.5)(0.25+3)}{(-0.75)^3} > 0$). Ошибка в знаке. Давайте перепроверим. $x=-0.5$. Числитель: $4(-0.5)(...) < 0$. Знаменатель: $((-0.5)^2-1)^3 = (0.25-1)^3 = (-0.75)^3 < 0$. Итого $y'' = \frac{(-)}{(-)} > 0$ (график вогнутый).

При $x \in (0, 1)$, $y'' > 0$ (например, при $x=0.5$, $y'' = \frac{4(0.5)(0.25+3)}{(-0.75)^3} < 0$). Числитель: $4(0.5)(...) > 0$. Знаменатель: $((0.5)^2-1)^3 = (0.25-1)^3 = (-0.75)^3 < 0$. Итого $y'' = \frac{(+)}{(-)} < 0$ (график выпуклый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Находим ординату точки перегиба: $y(0) = \frac{2 \cdot 0^3}{0^2 - 1} = 0$.

Координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

2) $y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$

1. Область определения: $x \neq \pm 1$.

2. Первая производная: $y' = \frac{(2x^2)'(x^2-1) - 2x^2(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{4x(x^2-1) - 2x^2(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{4x^3 - 4x - 4x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$.

3. Вторая производная:

$y'' = \frac{(-4x)'(x^2-1)^2 - (-4x)((x^2-1)^2)'}{((x^2-1)^2)^2} = \frac{-4(x^2-1)^2 + 4x(2(x^2-1) \cdot 2x)}{(x^2-1)^4}$

Сократим на $(x^2-1)$:

$y'' = \frac{-4(x^2-1) + 16x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{-4x^2 + 4 + 16x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3} = \frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$.

4. Приравниваем вторую производную к нулю: $y'' = 0$.

$\frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} = 0$.

$4(3x^2+1) = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $3x^2+1$ всегда больше нуля.

5. Вторая производная не обращается в ноль, а точки, где она не существует ($x=\pm 1$), не входят в область определения функции. Следовательно, у графика функции нет точек перегиба.

Ответ: точек перегиба нет.

3) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения: $4 - x^2 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 2$.

2. Первая производная: $y' = \frac{(x^3)'(4-x^2) - x^3(4-x^2)'}{(4-x^2)^2} = \frac{3x^2(4-x^2) - x^3(-2x)}{(4-x^2)^2} = \frac{12x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(4-x^2)^2} = \frac{12x^2 - x^4}{(4-x^2)^2}$.

3. Вторая производная:

$y'' = \frac{(12x^2-x^4)'(4-x^2)^2 - (12x^2-x^4)((4-x^2)^2)'}{((4-x^2)^2)^2}$

$y'' = \frac{(24x-4x^3)(4-x^2)^2 - (12x^2-x^4)(2(4-x^2)(-2x))}{(4-x^2)^4}$

Сократим на $(4-x^2)$:

$y'' = \frac{(24x-4x^3)(4-x^2) + 4x(12x^2-x^4)}{(4-x^2)^3} = \frac{96x - 24x^3 - 16x^3 + 4x^5 + 48x^3 - 4x^5}{(4-x^2)^3}$

$y'' = \frac{96x + 8x^3}{(4-x^2)^3} = \frac{8x(12+x^2)}{(4-x^2)^3}$.

4. Приравниваем вторую производную к нулю: $y'' = 0$.

$\frac{8x(12+x^2)}{(4-x^2)^3} = 0$.

$8x(12+x^2) = 0$. Так как $12+x^2 > 0$ для любого $x$, то $x=0$.

5. Проверяем смену знака второй производной в точке $x=0$.

При $x \in (-2, 0)$, $y'' < 0$ (например, при $x=-1$, $y'' = \frac{8(-1)(12+1)}{(4-1)^3} = \frac{-8 \cdot 13}{27} < 0$, график выпуклый).

При $x \in (0, 2)$, $y'' > 0$ (например, при $x=1$, $y'' = \frac{8(1)(12+1)}{(4-1)^3} = \frac{8 \cdot 13}{27} > 0$, график вогнутый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Находим ординату точки перегиба: $y(0) = \frac{0^3}{4 - 0^2} = 0$.

Координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) $y = 4 - 3x + 2x^3$

1. Область определения: $x \in (-\infty, \infty)$, так как это многочлен.

2. Первая производная: $y' = (4 - 3x + 2x^3)' = -3 + 6x^2$.

3. Вторая производная: $y'' = (-3 + 6x^2)' = 12x$.

4. Приравниваем вторую производную к нулю: $y'' = 0$.

$12x = 0$, откуда $x=0$.

5. Проверяем смену знака второй производной в точке $x=0$.

При $x < 0$, $y'' = 12x < 0$ (график выпуклый).

При $x > 0$, $y'' = 12x > 0$ (график вогнутый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Находим ординату точки перегиба: $y(0) = 4 - 3(0) + 2(0)^3 = 4$.

Координаты точки перегиба: $(0, 4)$.

Ответ: $(0, 4)$.

18. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$:

1) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$

2) $f(x) = \frac{3x}{x^2-9}$

3) $f(x) = \frac{x}{25-x^2}$

4) $f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-4}$

1) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

1. Находим область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{2x}{x+1}\right)' = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

3. Определяем знак производной. Числитель производной равен $2$, что является положительным числом. Знаменатель $(x+1)^2$ также всегда положителен для любого $x$ из области определения функции. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

4. Так как производная функции положительна на всей области ее определения, функция возрастает на каждом из промежутков, входящих в область определения. Промежутков убывания у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$; промежутков убывания нет.

2) $f(x) = \frac{3x}{x^2-9}$

1. Область определения функции: $x^2-9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq -3$ и $x \neq 3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{3x}{x^2-9}\right)' = \frac{(3x)'(x^2-9) - 3x(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{3x^2-27-6x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2-27}{(x^2-9)^2} = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.

3. Определяем знак производной. В числителе выражение $x^2+9$ всегда положительно, поэтому числитель $-3(x^2+9)$ всегда отрицателен. Знаменатель $(x^2-9)^2$ всегда положителен на области определения. Таким образом, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из $D(f)$.

4. Поскольку производная функции отрицательна на всей области ее определения, функция убывает на каждом из промежутков, входящих в область определения. Промежутков возрастания нет.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$; промежутков возрастания нет.

3) $f(x) = \frac{x}{25-x^2}$

1. Область определения функции: $25-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 25$, откуда $x \neq -5$ и $x \neq 5$. Область определения $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x}{25-x^2}\right)' = \frac{(x)'(25-x^2) - x(25-x^2)'}{(25-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (25-x^2) - x(-2x)}{(25-x^2)^2} = \frac{25-x^2+2x^2}{(25-x^2)^2} = \frac{x^2+25}{(25-x^2)^2}$.

3. Определяем знак производной. Числитель $x^2+25$ всегда положителен. Знаменатель $(25-x^2)^2$ также всегда положителен для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

4. Так как производная функции положительна на всей области ее определения, функция возрастает на каждом из промежутков, входящих в область определения. Промежутков убывания нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$; промежутков убывания нет.

4) $f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-4}$

1. Область определения функции: $x^2-4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4$, откуда $x \neq -2$ и $x \neq 2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x^2-9}{x^2-4}\right)' = \frac{(x^2-9)'(x^2-4) - (x^2-9)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3-8x - (2x^3-18x)}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.

3. Находим критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies 10x=0 \implies x=0$. Производная не определена в точках $x=-2$ и $x=2$, которые являются точками разрыва функции. Эти точки делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

4. Определяем знак производной $f'(x) = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$. Знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен на $D(f)$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $10x$.

- При $x < 0$ (на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$), $10x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$ и функция убывает.

- При $x > 0$ (на промежутках $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$), $10x > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. Записываем промежутки монотонности. Точку $x=0$, в которой производная равна нулю и функция непрерывна, включаем в промежутки.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$.

19. а) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = 0$:

1) $y = 2x + \sqrt{x+1}$;

2) $y = \sqrt{3x+1}$;

3) $y = 1 + \frac{1}{x+2}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = \sqrt{3x+1}$, параллельной прямой $y = \frac{3}{4}x + 1$;

2) $f(x) = \sqrt{3-2x}$, параллельной прямой $y = 2 - x$.

а)

1) Для функции $f(x) = 2x + \sqrt{x+1}$ в точке $x_0 = 0$. Общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.Находим значение функции в точке: $f(0) = 2(0) + \sqrt{0+1} = 1$.Находим производную функции: $f'(x) = (2x + \sqrt{x+1})' = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.Находим значение производной в точке касания: $f'(0) = 2 + \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.Подставляем найденные значения в уравнение касательной: $y = 1 + \frac{5}{2}(x - 0)$.Искомое уравнение: $y = \frac{5}{2}x + 1$.Ответ: $y = \frac{5}{2}x + 1$.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{3x+1}$ в точке $x_0 = 0$.Находим значение функции: $f(0) = \sqrt{3(0)+1} = 1$.Находим производную: $f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot (3x+1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.Находим значение производной в точке касания: $f'(0) = \frac{3}{2\sqrt{3(0)+1}} = \frac{3}{2}$.Уравнение касательной: $y = 1 + \frac{3}{2}(x - 0)$.Искомое уравнение: $y = \frac{3}{2}x + 1$.Ответ: $y = \frac{3}{2}x + 1$.

3) Для функции $f(x) = 1 + \frac{1}{x+2}$ в точке $x_0 = 0$.Находим значение функции: $f(0) = 1 + \frac{1}{0+2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.Находим производную: $f'(x) = (1 + (x+2)^{-1})' = -(x+2)^{-2} \cdot (x+2)' = -\frac{1}{(x+2)^2}$.Находим значение производной в точке касания: $f'(0) = -\frac{1}{(0+2)^2} = -\frac{1}{4}$.Уравнение касательной: $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{4}(x - 0)$.Искомое уравнение: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$.Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ в точке $x_0 = 0$.Находим значение функции: $f(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$.Находим производную, представив функцию как $f(x) = (1-x)^{-1/2}$: $f'(x) = -\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2} \cdot (1-x)' = -\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2} \cdot (-1) = \frac{1}{2\sqrt{(1-x)^3}}$.Находим значение производной в точке касания: $f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{(1-0)^3}} = \frac{1}{2}$.Уравнение касательной: $y = 1 + \frac{1}{2}(x - 0)$.Искомое уравнение: $y = \frac{1}{2}x + 1$.Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

б)

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{3x+1}$. Касательная параллельна прямой $y = \frac{3}{4}x + 1$. Условие параллельности прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой $k = \frac{3}{4}$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.Находим производную: $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.Приравниваем $f'(x_0) = k$, чтобы найти абсциссу точки касания: $\frac{3}{2\sqrt{3x_0+1}} = \frac{3}{4}$.Решаем уравнение: $2\sqrt{3x_0+1} = 4 \implies \sqrt{3x_0+1} = 2 \implies 3x_0+1 = 4 \implies x_0 = 1$.Находим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4} = 2$.Точка касания $(1; 2)$.Уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0) \implies y - 2 = \frac{3}{4}(x - 1)$.Приводим к стандартному виду: $y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{3-2x}$. Касательная параллельна прямой $y = 2 - x$. Угловой коэффициент этой прямой $k = -1$.Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{3-2x})' = \frac{1}{2\sqrt{3-2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{3-2x}}$.Находим абсциссу точки касания из условия $f'(x_0) = k$: $-\frac{1}{\sqrt{3-2x_0}} = -1$.Решаем уравнение: $\sqrt{3-2x_0} = 1 \implies 3-2x_0 = 1 \implies 2x_0 = 2 \implies x_0 = 1$.Находим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \sqrt{3-2(1)} = \sqrt{1} = 1$.Точка касания $(1; 1)$.Уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0) \implies y - 1 = -1(x - 1)$.Приводим к стандартному виду: $y = -x + 1 + 1 = -x + 2$.Ответ: $y = -x + 2$.

20. Для функции, график которой дан на рисунке 1, запишите:

Рис. 1

1) точки минимума функции;

2) точки максимума;

3) координаты точек перегиба;

4) экстремумы функции.

1) точки минимума функции;

Точка минимума – это значение аргумента (координата $x$), в которой функция достигает своего локального минимума. На графике это абсциссы "впадин". Из графика видно, что функция имеет две точки минимума с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $x_{min1} = -2, x_{min2} = 2$.

2) точки максимума;

Точка максимума – это значение аргумента (координата $x$), в которой функция достигает своего локального максимума. На графике это абсцисса "вершины". Из графика видно, что функция имеет одну точку максимума с абсциссой $x = 0$.

Ответ: $x_{max} = 0$.

3) координаты точек перегиба;

Точка перегиба – это точка на графике, в которой функция меняет направление своей выпуклости. На интервалах $(-3, -1)$ и $(1, \infty)$ график функции является вогнутым (выпуклым вниз). На интервале $(-1, 1)$ график функции является выпуклым (выпуклым вверх). Следовательно, точки, в которых происходит смена направления выпуклости, являются точками перегиба. По графику определяем их координаты: первая точка перегиба $(-1, -3)$, вторая точка перегиба $(1, -3)$.

Ответ: $(-1, -3)$ и $(1, -3)$.

4) экстремумы функции.

Экстремумы функции – это значения функции в её точках минимума и максимума. Минимум функции (локальное наименьшее значение) достигается в точках $x = -2$ и $x = 2$. Значение функции в этих точках равно $-5$. Максимум функции (локальное наибольшее значение) достигается в точке $x = 0$. Значение функции в этой точке равно $-1$.

Ответ: минимум функции $y_{min} = -5$, максимум функции $y_{max} = -1$.