Номер 19, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19. а) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = 0$:

1) $y = 2x + \sqrt{x+1}$;

2) $y = \sqrt{3x+1}$;

3) $y = 1 + \frac{1}{x+2}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = \sqrt{3x+1}$, параллельной прямой $y = \frac{3}{4}x + 1$;

2) $f(x) = \sqrt{3-2x}$, параллельной прямой $y = 2 - x$.

а)

1) Для функции $f(x) = 2x + \sqrt{x+1}$ в точке $x_0 = 0$. Общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.Находим значение функции в точке: $f(0) = 2(0) + \sqrt{0+1} = 1$.Находим производную функции: $f'(x) = (2x + \sqrt{x+1})' = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.Находим значение производной в точке касания: $f'(0) = 2 + \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.Подставляем найденные значения в уравнение касательной: $y = 1 + \frac{5}{2}(x - 0)$.Искомое уравнение: $y = \frac{5}{2}x + 1$.Ответ: $y = \frac{5}{2}x + 1$.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{3x+1}$ в точке $x_0 = 0$.Находим значение функции: $f(0) = \sqrt{3(0)+1} = 1$.Находим производную: $f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot (3x+1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.Находим значение производной в точке касания: $f'(0) = \frac{3}{2\sqrt{3(0)+1}} = \frac{3}{2}$.Уравнение касательной: $y = 1 + \frac{3}{2}(x - 0)$.Искомое уравнение: $y = \frac{3}{2}x + 1$.Ответ: $y = \frac{3}{2}x + 1$.

3) Для функции $f(x) = 1 + \frac{1}{x+2}$ в точке $x_0 = 0$.Находим значение функции: $f(0) = 1 + \frac{1}{0+2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.Находим производную: $f'(x) = (1 + (x+2)^{-1})' = -(x+2)^{-2} \cdot (x+2)' = -\frac{1}{(x+2)^2}$.Находим значение производной в точке касания: $f'(0) = -\frac{1}{(0+2)^2} = -\frac{1}{4}$.Уравнение касательной: $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{4}(x - 0)$.Искомое уравнение: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$.Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ в точке $x_0 = 0$.Находим значение функции: $f(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$.Находим производную, представив функцию как $f(x) = (1-x)^{-1/2}$: $f'(x) = -\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2} \cdot (1-x)' = -\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2} \cdot (-1) = \frac{1}{2\sqrt{(1-x)^3}}$.Находим значение производной в точке касания: $f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{(1-0)^3}} = \frac{1}{2}$.Уравнение касательной: $y = 1 + \frac{1}{2}(x - 0)$.Искомое уравнение: $y = \frac{1}{2}x + 1$.Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

б)

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{3x+1}$. Касательная параллельна прямой $y = \frac{3}{4}x + 1$. Условие параллельности прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой $k = \frac{3}{4}$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.Находим производную: $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.Приравниваем $f'(x_0) = k$, чтобы найти абсциссу точки касания: $\frac{3}{2\sqrt{3x_0+1}} = \frac{3}{4}$.Решаем уравнение: $2\sqrt{3x_0+1} = 4 \implies \sqrt{3x_0+1} = 2 \implies 3x_0+1 = 4 \implies x_0 = 1$.Находим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4} = 2$.Точка касания $(1; 2)$.Уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0) \implies y - 2 = \frac{3}{4}(x - 1)$.Приводим к стандартному виду: $y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{3-2x}$. Касательная параллельна прямой $y = 2 - x$. Угловой коэффициент этой прямой $k = -1$.Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{3-2x})' = \frac{1}{2\sqrt{3-2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{3-2x}}$.Находим абсциссу точки касания из условия $f'(x_0) = k$: $-\frac{1}{\sqrt{3-2x_0}} = -1$.Решаем уравнение: $\sqrt{3-2x_0} = 1 \implies 3-2x_0 = 1 \implies 2x_0 = 2 \implies x_0 = 1$.Находим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \sqrt{3-2(1)} = \sqrt{1} = 1$.Точка касания $(1; 1)$.Уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0) \implies y - 1 = -1(x - 1)$.Приводим к стандартному виду: $y = -x + 1 + 1 = -x + 2$.Ответ: $y = -x + 2$.