Номер 26, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26. Периметр земельного участка в форме прямоугольной трапеции с острым углом в $30^{\circ}$ равна 96 м. Найдите наибольшую площадь этого участка.

Обозначим стороны прямоугольной трапеции. Пусть $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота (она же одна из боковых сторон), а $c$ — вторая (наклонная) боковая сторона. Пусть $a$ — меньшее основание, а $b$ — большее.

В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне, являющейся высотой, прямой. По условию, острый угол трапеции равен $30°$. Проведём вторую высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• Один катет равен высоте трапеции $h$.
• Второй катет равен разности оснований $b - a$.
• Гипотенуза — это наклонная сторона $c$.
• Острый угол этого треугольника, прилежащий к основанию $b$, равен $30°$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:

1. Синус острого угла: $\sin(30°) = \frac{h}{c}$. Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, то $\frac{h}{c} = \frac{1}{2}$, откуда $c = 2h$.

2. Тангенс острого угла: $\tan(30°) = \frac{h}{b-a}$. Так как $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\frac{h}{b-a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $b-a = h\sqrt{3}$.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон: $P = a + b + h + c$.

По условию, периметр равен 96 м. Подставим выражение для $c$:$a + b + h + 2h = 96$$a + b + 3h = 96$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$.

Чтобы найти наибольшую площадь, выразим площадь как функцию одной переменной. Из уравнения для периметра выразим сумму оснований: $a+b = 96 - 3h$.

Подставим это выражение в формулу площади:$S(h) = \frac{96 - 3h}{2}h = 48h - \frac{3}{2}h^2$.

Мы получили квадратичную функцию $S(h)$ относительно высоты $h$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $h^2$ отрицателен). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Координата вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.В нашем случае $A = -\frac{3}{2}$ и $B = 48$.$h_0 = -\frac{48}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{48}{-3} = 16$.

Таким образом, площадь будет максимальной при высоте $h = 16$ м.

Теперь найдём значение этой максимальной площади, подставив $h=16$ в функцию $S(h)$:$S_{max} = 48 \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot 16^2 = 768 - \frac{3}{2} \cdot 256 = 768 - 3 \cdot 128 = 768 - 384 = 384$.

Убедимся, что при $h=16$ м все стороны трапеции имеют положительную длину.$c = 2h = 2 \cdot 16 = 32$ м.$a+b = 96 - 3h = 96 - 3 \cdot 16 = 48$ м.$b-a = h\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ м.Решая систему $\begin{cases} a+b=48 \\ b-a=16\sqrt{3} \end{cases}$, находим $2b = 48 + 16\sqrt{3} \Rightarrow b = 24 + 8\sqrt{3}$ и $2a = 48 - 16\sqrt{3} \Rightarrow a = 24 - 8\sqrt{3}$.Так как $8\sqrt{3} \approx 8 \cdot 1.732 = 13.856 < 24$, то $a > 0$. Все размеры корректны.

Ответ: $384 \text{ м}^2$.