Номер 31, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

31. Используя схему Горнера, разделите многочлен $P(x) = x^5 - 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 7$ на двучлен $x - 2$. Найдите частное и остаток.

Для того чтобы разделить многочлен $P(z) = z^5 - 2z^4 - 3z^3 + 2z^2 + 7$ на двучлен $z - 2$, мы используем схему Горнера.

Сначала необходимо выписать коэффициенты многочлена $P(z)$ в порядке убывания степеней переменной. Важно учесть, что коэффициент при $z^1$ равен нулю, так как этот член в многочлене отсутствует. Таким образом, последовательность коэффициентов для степеней $z^5, z^4, z^3, z^2, z^1, z^0$ следующая: $1, -2, -3, 2, 0, 7$.

Деление производится на двучлен вида $z - c$. В нашем случае это $z - 2$, откуда получаем $c = 2$.

Теперь составим таблицу для вычислений по схеме Горнера. В первой строке таблицы разместим коэффициенты многочлена $P(z)$. Слева, в первой ячейке, укажем значение $c=2$.

Процесс вычисления выглядит так:

1. Первый коэффициент (1) переносим в нижнюю строку без изменений.

2. Умножаем это число на $c=2$ ($1 \cdot 2 = 2$) и записываем результат под вторым коэффициентом (-2).

3. Складываем числа во втором столбце: $-2 + 2 = 0$. Результат записываем в нижнюю строку.

4. Повторяем процедуру: $0 \cdot 2 = 0$. Записываем под -3. Складываем: $-3 + 0 = -3$.

5. Продолжаем: $-3 \cdot 2 = -6$. Записываем под 2. Складываем: $2 + (-6) = -4$.

6. Далее: $-4 \cdot 2 = -8$. Записываем под 0. Складываем: $0 + (-8) = -8$.

7. Последний шаг: $-8 \cdot 2 = -16$. Записываем под 7. Складываем: $7 + (-16) = -9$.

Числа в последней строке таблицы ($1, 0, -3, -4, -8$) являются коэффициентами частного (неполного частного) $Q(z)$. Степень многочлена-частного будет на единицу меньше степени исходного многочлена, то есть $5-1=4$. Последнее число в этой строке ($-9$) является остатком от деления $R$.

Таким образом, частное от деления:

$Q(z) = 1 \cdot z^4 + 0 \cdot z^3 - 3 \cdot z^2 - 4 \cdot z - 8 = z^4 - 3z^2 - 4z - 8$.

Остаток от деления:

$R = -9$.

Ответ: частное $Q(z) = z^4 - 3z^2 - 4z - 8$, остаток $R = -9$.