Номер 28, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28. 1) Число 484 представьте в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы значение их суммы было наибольшим.

2) Значение суммы двух положительных чисел равно 98. Найдите эти числа, если их произведение принимает наибольшее значение.

1) Пусть два положительных числа это $x$ и $y$. По условию, их произведение равно 484, то есть $xy = 484$. Требуется найти такие $x$ и $y$, чтобы их сумма $S = x + y$ была наибольшей.

Выразим $y$ через $x$ из условия произведения: $y = \frac{484}{x}$.

Подставим это выражение в сумму: $S(x) = x + \frac{484}{x}$.

Если рассматривать $x$ и $y$ как любые положительные действительные числа, то функция $S(x)$ не имеет наибольшего значения. При $x$, стремящемся к нулю ($x \to 0^+$), значение $y$ будет стремиться к бесконечности ($y \to +\infty$), и их сумма $S$ также будет неограниченно возрастать. Таким образом, в области действительных чисел задача не имеет решения.

Однако, если предположить, что в задаче имеются в виду целые положительные числа, то решение существует. В этом случае $x$ и $y$ должны быть делителями числа 484. Найдем все пары таких делителей и вычислим их сумму:

$1 \times 484 = 484 \implies$ сумма $1 + 484 = 485$

$2 \times 242 = 484 \implies$ сумма $2 + 242 = 244$

$4 \times 121 = 484 \implies$ сумма $4 + 121 = 125$

$11 \times 44 = 484 \implies$ сумма $11 + 44 = 55$

$22 \times 22 = 484 \implies$ сумма $22 + 22 = 44$

Сравнивая полученные суммы, видим, что наибольшее значение равно 485. Оно достигается, когда числа равны 1 и 484.

Ответ: 1 и 484.

2) Пусть два положительных числа это $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 98: $x + y = 98$. Нам нужно найти такие $x$ и $y$, чтобы их произведение $P = xy$ было наибольшим.

Выразим $y$ через $x$ из условия суммы: $y = 98 - x$.

Подставим это выражение в произведение: $P(x) = x(98 - x) = 98x - x^2$.

Функция $P(x)$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (-1). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координату $x$ вершины параболы найдем по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$, где $a=-1$ и $b=98$.

$x_v = -\frac{98}{2 \cdot (-1)} = 49$.

Следовательно, одно из чисел равно 49.

Найдем второе число: $y = 98 - x = 98 - 49 = 49$.

Таким образом, чтобы произведение было наибольшим, оба числа должны быть равны 49.

Этот же результат можно получить с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$.

Подставим известную сумму: $\frac{98}{2} \ge \sqrt{P}$, или $49 \ge \sqrt{P}$.

Отсюда $P \le 49^2 = 2401$.

Максимальное значение произведения $P$ равно 2401 и достигается только при условии, что $x=y$. Так как $x+y=98$, то $2x=98$, откуда $x=y=49$.

Ответ: 49 и 49.