Номер 22, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x;$

2) $y = x^3 - 3x^2 + 2;$

3) $y = 2x + \frac{2}{x};$

4) $y = \frac{4}{x} - \frac{x}{4}.$

1) Исследование функции $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x$

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = 2(-x)^3 - 9(-x)^2 + 12(-x) = -2x^3 - 9x^2 - 12x$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x=0 \implies y = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

С осью OX: $y=0 \implies 2x^3 - 9x^2 + 12x = 0 \implies x(2x^2 - 9x + 12) = 0$.

Один корень $x_1=0$. Для квадратного уравнения $2x^2 - 9x + 12 = 0$ дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 81 - 96 = -15 < 0$, действительных корней нет. Единственная точка пересечения с осями — $(0, 0)$.

4. Асимптоты. Так как функция является многочленом, вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Находим первую производную: $y' = (2x^3 - 9x^2 + 12x)' = 6x^2 - 18x + 12$.

Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек: $6x^2 - 18x + 12 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах:

- $(-\infty, 1)$: $y'(0) = 12 > 0$, функция возрастает.

- $(1, 2)$: $y'(1.5) = 6(1.5^2 - 3 \cdot 1.5 + 2) = 6(2.25 - 4.5 + 2) = -1.5 < 0$, функция убывает.

- $(2, +\infty)$: $y'(3) = 6(3^2 - 3 \cdot 3 + 2) = 12 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с $+$ на $-$, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) = 5$. Точка максимума $(1, 5)$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с $-$ на $+$, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 16 - 36 + 24 = 4$. Точка минимума $(2, 4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Находим вторую производную: $y'' = (6x^2 - 18x + 12)' = 12x - 18$.

Приравниваем вторую производную к нулю: $12x - 18 = 0 \implies x = 1.5$.

Исследуем знак второй производной:

- $(-\infty, 1.5)$: $y''(0) = -18 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

- $(1.5, +\infty)$: $y''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=1.5$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(1.5) = 2(1.5)^3 - 9(1.5)^2 + 12(1.5) = 6.75 - 20.25 + 18 = 4.5$. Точка перегиба $(1.5, 4.5)$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(2, \infty)$, убывает на интервале $(1, 2)$. Точка локального максимума $(1, 5)$, точка локального минимума $(2, 4)$. График является вогнутым на $(-\infty, 1.5)$ и выпуклым на $(1.5, \infty)$. Точка перегиба $(1.5, 4.5)$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.

2) Исследование функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$

1. Область определения. Функция является многочленом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x=0 \implies y = 2$. Точка пересечения $(0, 2)$.

С осью OX: $y=0 \implies x^3 - 3x^2 + 2 = 0$. Заметим, что $x=1$ является корнем: $1 - 3 + 2 = 0$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получим $x^2 - 2x - 2 = 0$. Корни этого уравнения: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Точки пересечения: $(1, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$.

Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x=2$.

- $(-\infty, 0)$: $y'(-1) = 3(-1)(-3) = 9 > 0$, функция возрастает.

- $(0, 2)$: $y'(1) = 3(1)(-1) = -3 < 0$, функция убывает.

- $(2, +\infty)$: $y'(3) = 3(3)(1) = 9 > 0$, функция возрастает.

Точка максимума: $x=0, y_{max} = y(0) = 2$. Точка $(0, 2)$.

Точка минимума: $x=2, y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$. Точка $(2, -2)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.

$y''=0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x=1$.

- $(-\infty, 1)$: $y''(0) = -6 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

- $(1, +\infty)$: $y''(2) = 6 > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точка перегиба: $x=1, y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$, убывает на $(0, 2)$. Точка максимума $(0, 2)$, точка минимума $(2, -2)$. График вогнутый на $(-\infty, 1)$ и выпуклый на $(1, \infty)$. Точка перегиба $(1, 0)$. Пересечение с осями: $(0, 2)$, $(1, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$.

3) Исследование функции $y = 2x + \frac{2}{x}$

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = 2(-x) + \frac{2}{-x} = -2x - \frac{2}{x} = -(2x + \frac{2}{x}) = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x \neq 0$, пересечения нет.

С осью OX: $y=0 \implies 2x + \frac{2}{x} = 0 \implies \frac{2x^2+2}{x} = 0$. Уравнение $2x^2+2=0$ не имеет действительных корней. Пересечения нет.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0^+} (2x + \frac{2}{x}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (2x + \frac{2}{x}) = -\infty$.

Наклонная асимптота: $y = kx + b$. $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (2 + \frac{2}{x^2}) = 2$. $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (2x + \frac{2}{x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$. Наклонная асимптота $y=2x$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $y' = 2 - \frac{2}{x^2}$.

Критические точки ($y'=0$): $2 - \frac{2}{x^2} = 0 \implies x^2=1 \implies x = \pm 1$.

- $(-\infty, -1)$: $y'(-2) = 2 - \frac{2}{4} > 0$, возрастает.

- $(-1, 0)$: $y'(-0.5) = 2 - \frac{2}{0.25} < 0$, убывает.

- $(0, 1)$: $y'(0.5) = 2 - \frac{2}{0.25} < 0$, убывает.

- $(1, +\infty)$: $y'(2) = 2 - \frac{2}{4} > 0$, возрастает.

Точка максимума: $x=-1, y_{max} = y(-1) = -2 - 2 = -4$. Точка $(-1, -4)$.

Точка минимума: $x=1, y_{min} = y(1) = 2 + 2 = 4$. Точка $(1, 4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (\frac{4}{x^3})$.

$y'' \neq 0$.

- $(-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

- $(0, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точек перегиба нет.

Ответ: Функция нечетная. Область определения $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=0$ и наклонная $y=2x$. Возрастает на $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$, убывает на $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. Точка максимума $(-1, -4)$, точка минимума $(1, 4)$. График вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, \infty)$.

4) Исследование функции $y = \frac{4}{x} - \frac{x}{4}$

1. Область определения. $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = \frac{4}{-x} - \frac{-x}{4} = -\frac{4}{x} + \frac{x}{4} = -(\frac{4}{x} - \frac{x}{4}) = -y(x)$. Функция нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: пересечения нет.

С осью OX: $y=0 \implies \frac{4}{x} - \frac{x}{4} = 0 \implies \frac{16-x^2}{4x} = 0 \implies 16-x^2 = 0 \implies x = \pm 4$. Точки пересечения $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0^+} (\frac{4}{x} - \frac{x}{4}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (\frac{4}{x} - \frac{x}{4}) = -\infty$.

Наклонная асимптота: $y = kx + b$. $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (\frac{4}{x^2} - \frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}$. $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{4}{x} - \frac{x}{4} - (-\frac{1}{4}x)) = 0$. Наклонная асимптота $y = -\frac{1}{4}x$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $y' = -\frac{4}{x^2} - \frac{1}{4}$.

Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, $y' = -\frac{4}{x^2} - \frac{1}{4} < 0$ всегда.Функция убывает на всей области определения: на $(-\infty, 0)$ и на $(0, +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (-4x^{-2} - \frac{1}{4})' = 8x^{-3} = \frac{8}{x^3}$.

$y'' \neq 0$.

- $(-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

- $(0, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точек перегиба нет.

Ответ: Функция нечетная. Область определения $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=0$ и наклонная $y = -x/4$. Убывает на всей области определения. Точек экстремума и перегиба нет. Пересечение с осью Ох в точках $(-4, 0)$ и $(4, 0)$. График вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, \infty)$.